Ясно, что без ограничения общности можно считать, что все r i r_i r i r 1 = p 1 q 1 , … , r n = p n q n r_1 = \frac{p_1}{q_1}, \ldots, r_n = \frac{p_n}{q_n} r 1 = q 1 p 1 , … , r n = q n p n q : = q 1 , … , q n q:=q_1,\ldots, q_n q := q 1 , … , q n
q i = q q 1 ⋯ q i ^ ⋯ q n ,
q_i = \frac{q }{q_1 \cdots \widehat{q_i}\cdots q_n}, q i = q 1 ⋯ q i ⋯ q n q , где q i ^ \widehat{q_i} q i q 1 ⋯ q n q_1\cdots q_n q 1 ⋯ q n q i q_i q i
Сделаем тогда замену
u : = ( a x + b a ′ x + b ′ ) 1 q ,
u: = \left(\frac{ax + b}{a'x + b'} \right)^{\frac{1}{q}}, u := ( a ′ x + b ′ a x + b ) q 1 , тогда получаем для каждого 1 ≤ i ≤ n 1\le i \le n 1 ≤ i ≤ n
( a x + b a ′ x + b ′ ) p i q i = ( a x + b a ′ x + b ′ ) p i ⋅ q 1 ⋯ q i ^ ⋯ q n q = u p i ⋅ q 1 ⋯ q i ^ ⋯ q n = u k i ,
\left( \frac{ax+b}{a'x + b'} \right)^{\frac{p_i}{q_i}} = \left( \frac{ax+b}{a'x + b'} \right)^{\frac{p_i\cdot q_1 \cdots \widehat{q_i}\cdots q_n}{q}} = u^{p_i\cdot q_1 \cdots \widehat{q_i}\cdots q_n} = u^{k_i}, ( a ′ x + b ′ a x + b ) q i p i = ( a ′ x + b ′ a x + b ) q p i ⋅ q 1 ⋯ q i ⋯ q n = u p i ⋅ q 1 ⋯ q i ⋯ q n = u k i , где k i : = p i ⋅ q 1 ⋯ q i ^ ⋯ q n ∈ N k_i : = p_i\cdot q_1 \cdots \widehat{q_i}\cdots q_n \in \mathbb{N} k i := p i ⋅ q 1 ⋯ q i ⋯ q n ∈ N
R ( x , ( a x + b a ′ x + b ′ ) r 1 , … , ( a ′ x + b ′ c x + d ) r n ) = R ( x , u k 1 , … , u k n ) ,
R\left(x, \left(\frac{ax+b}{a'x+b'} \right)^{r_1}, \ldots, \left(\frac{a'x+b'}{cx+d} \right)^{r_n} \right) = R(x,u^{k_1},\ldots, u^{k_n}), R ( x , ( a ′ x + b ′ a x + b ) r 1 , … , ( c x + d a ′ x + b ′ ) r n ) = R ( x , u k 1 , … , u k n ) , т.е. мы избавились от иррациональности (=радикалов) в самой функции. Посмотрим тогда, что произойдёт с формой. Для этого нужно выразить d x \mathrm{d}x d x d u . \mathrm{d}u. d u .
Так как u q = a x + b a ′ x + b ′ u^q = \frac{ax + b}{a'x+b'} u q = a ′ x + b ′ a x + b x = b ′ u q − b a − a ′ u q x = \frac{b'u^q - b}{a - a'u^q} x = a − a ′ u q b ′ u q − b
d x = ( b ′ u q − b a − a ′ u q ) u ′ d u ,
\mathrm{d}x = \left(\frac{b'u^q - b}{a - a'u^q} \right)'_u\mathrm{d}u, d x = ( a − a ′ u q b ′ u q − b ) u ′ d u , но ведь производная этой дроби тоже рациональная функция от u u u R ~ ( u ) ⋅ ( b ′ u q − b a − a ′ u q ) ′ d u \widetilde{R}(u)\cdot\left(\frac{b'u^q - b}{a - a'u^q} \right)'\mathrm{d}u R ( u ) ⋅ ( a − a ′ u q b ′ u q − b ) ′ d u
R ~ ( u ) : = R ( b ′ u q − b a − a ′ u q , u k 1 , … , u k n )
\widetilde{R}(u): = R\left( \frac{b'u^q- b}{a- a'u^q}, u^{k_1}, \ldots, u^{k_n} \right) R ( u ) := R ( a − a ′ u q b ′ u q − b , u k 1 , … , u k n ) рациональная функция от одной переменной u . u. u .