Неформальное введение

Понятие определённого интеграла восходит ещё к Архимеду. Мы рассмотрим неформальное введение, где объясним суть проблемы.

Пусть дана функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^1$, которая непрерывна на отрезке $[a,b]$. Будем писать $y = f(x)$ и будем считать, что функция на этом отрезке принимает только положительные значения. Рассмотрим фигуру $ABCD$ (см. рис.Figure 1), ограниченную кривой $y=f(x)$, двумя ординатами $x = a$, $x =b$ и отрезком оси $Ox.$ Подобные фигуры называются криволинейными трапециями.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении площади плоской криволинейной трапеции $ABCD$ (см. рис.Figure 1)

Разделим основание $AB$ нашей фигуры произвольным образом на части и проведём ординаты, соответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьётся на ряд полосок.

Заменим теперь приближённо каждую полоску некоторым прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски. Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.

Обозначим абсциссы точек деления через

Будем нумеровать прямоугольники числами $0,1,2,\ldots, n-1$ и пусть $S_i$ — площадь $i$-го прямоугольника. Ясно, что $S_i = y_i \Delta x_i$, где $\Delta x_i: = x_{i+1} - x_i.$

Тогда приближённое значение площади криволинейной трапеции $S_{ABCD}$ равно

Тогда можно предположить, что при убывании всех $\Delta x_i$ к нулю мы будем получать более точное значение, т.е. другими словами мы хотим сказать, что точное значение площади это следующий предел

Для обозначения предела такой суммы вида и был Лейбницем введён символ интеграла, т.е.