Правило Лопиталя

(1) Пусть $f(x_0) = g(x_0) = 0$, тогда наши функции $f,g$ непрерывны в $x_0$. Тогда по теореме Коши Theorem 7,

где $y \in (x, x_0)$. Так как $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$, то для любого $\varepsilon >0$, можно найти такое $\delta>0$, что для любого $x_0-\delta < z < x_0$, получаем

Пусть теперь $x \in (x_0 - \delta, \delta)$, то воспользовавшись ((1)),

что и доказывает требуемое.

(2) Так как функции дифференцируемы на $(a,b)$ и $g' \ne 0$ на $(a,b)$, то по теореме Коши Theorem 7,

перепишем его в виде

поделим на $g(b)$, получаем

теперь поделим всё на $g'(c)$

получаем

Имеем $(x_0 - \theta, x_0 + \theta) \cap \mathbb{R}_{< x_0} = (x_0 -\theta, x_0).$ Поэтому получаем, что если $\lim\limits_{x \to x_0-} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = A$, то для любого $\varepsilon>0$ найдётся такой $y$, что для любого $z \in (y, x_0)$ имеем

С другой стороны, это неравенство также означает что в какой-то окрестности $x_0$ функция $\frac{f'(z)}{g'(z)}$ ограничена, т.е., можно записать $\left| \dfrac{f'(z)}{g'(z)} \right|<C$, например, можно положить, что $C:=|A|+1.$

Фиксируем $y$, так как $\lim_{x \to x_0-}g(x) = \infty$, то $\lim_{x \to x_0-}\frac{1}{g(x)} = 0$, то для уже выбранного выше $\varepsilon>0$ можно найти такое $\delta>0$, что для любого $x \in (x_0 - \delta, x_0)$, получаем

Имеем

что и доказывает требуемое.