Что касается необходимых условия дифференцируемости, то мы их уже знаем. Но для удобства мы сделаем из этого следующую теорему:
Proof
Пусть f : R n → R f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} f : R n → R , дифференцируемая на каком-то открытом U ⊆ R n \mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n U ⊆ R n или в фиксированной точке x \m{x} x . Тогда её дифференциал ( d f ) x (\mathrm{d}f)_\m{x} ( d f ) x в точке x \m{x} x задаётся матрицей размера n × 1 n\times 1 n × 1 , ( d f ) x = ( a 1 … a n ) (\mathrm{d}f)_\m{x} = \begin{pmatrix}
a_1 & \ldots & a_n
\end{pmatrix} ( d f ) x = ( a 1 … a n ) , где все a i a_i a i есть функции от x \m{x} x . Наша цель — найти эти a i a_i a i . Пусть h = ( h 1 , … , h n ) ⊤ ∈ U ⊆ R n \m{h} = (h_1, \ldots, h_n)^\top \in \mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n h = ( h 1 , … , h n ) ⊤ ∈ U ⊆ R n , тогда получаем
f ( x + h ) − f ( x ) = ( d f ) x ( h ) + o ( ∣ ∣ h ∣ ∣ ) = ( a 1 … a n ) ( h 1 ⋮ h n ) + o ( ∣ ∣ h ∣ ∣ ) = a 1 h 1 + ⋯ + a n h n + o ( ∣ ∣ h ∣ ∣ ) . \begin{align*}
f(\m{x} + \m{h}) - f(\m{x}) &=& (\mathrm{d}f)_\m{x}(\m{h}) + o(||\m{h}||) \\
&=& \begin{pmatrix}
a_1 & \ldots & a_n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
h_1 \\ \vdots \\ h_n \end{pmatrix} + o(||\m{h}||) \\
&=& a_1h_1 + \cdots + a_nh_n + o(||\m{h}||).
\end{align*} f ( x + h ) − f ( x ) = = = ( d f ) x ( h ) + o ( ∣∣ h ∣∣ ) ( a 1 … a n ) ⎝ ⎛ h 1 ⋮ h n ⎠ ⎞ + o ( ∣∣ h ∣∣ ) a 1 h 1 + ⋯ + a n h n + o ( ∣∣ h ∣∣ ) . Видно, что a i a_i a i не зависит от координат вектора h \m{h} h кроме h i h_i h i т. е. чтобы найти a i a_i a i , нам достаточно рассмотреть вектор h i = h i e i \m{h}_i = h_i \m{e}_i h i = h i e i , где e i \m{e}_i e i — базисный вектор. В таком случае, ∣ ∣ h i ∣ ∣ = ∣ h i ∣ ||\m{h}_i|| = |h_i| ∣∣ h i ∣∣ = ∣ h i ∣ , и тогда для каждого 1 ≤ i ≤ n 1 \le i \le n 1 ≤ i ≤ n мы получаем
f ( x + h i e i ) − f ( x ) = a i h i + o ( ∣ h i ∣ ) ,
f(\m{x} + h_i \m{e}_i) - f(\m{x}) = a_ih_i + o(|h_i|), f ( x + h i e i ) − f ( x ) = a i h i + o ( ∣ h i ∣ ) , таким образом,
a i = lim h i → 0 f ( x + h i e i ) − f ( x ) h i ,
a_i = \lim_{h_i \to 0} \frac{f(\m{x} + h_i \m{e}_i) - f(\m{x})}{h_i}, a i = h i → 0 lim h i f ( x + h i e i ) − f ( x ) , такое выражение называется частной производной функции по переменной x i x_i x i и обозначается либо как ∂ f ∂ x i \frac{\partial f}{\partial x_i} ∂ x i ∂ f , либо как f x i ′ f'_{x_i} f x i ′ , т. е.
∂ f ∂ x i : = lim h i → 0 f ( x + h i e i ) − f ( x ) h i ,
\frac{\partial f}{\partial x_i}: = \lim_{h_i \to 0} \frac{f(\m{x} + h_i \m{e}_i) - f(\m{x})}{h_i}, ∂ x i ∂ f := h i → 0 lim h i f ( x + h i e i ) − f ( x ) , если же мы хотим знать её значение в точке x 0 \m{x}_0 x 0 , то получаем
∂ f ∂ x i ( x 0 ) : = lim h i → 0 f ( x 0 + h i e i ) − f ( x 0 ) h i .
\frac{\partial f}{\partial x_i}(\m{x}_0): = \lim_{h_i \to 0} \frac{f(\m{x}_0 + h_i \m{e}_i) - f(\m{x}_0)}{h_i}. ∂ x i ∂ f ( x 0 ) := h i → 0 lim h i f ( x 0 + h i e i ) − f ( x 0 ) . Таким образом, в случае функции f : R n → R f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} f : R n → R , дифференциал в точке x 0 \m{x}_0 x 0 находится по формуле
( d f ) x 0 : = ( ∂ f ∂ x 1 ( x 0 ) … ∂ f ∂ x n ( x 0 ) ) .
(\mathrm{d}f)_{\m{x}_0}: = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1}(\m{x}_0) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(\m{x}_0)
\end{pmatrix}. ( d f ) x 0 := ( ∂ x 1 ∂ f ( x 0 ) … ∂ x n ∂ f ( x 0 ) ) . Мы сейчас обобщим теорему Лагранжа о конечных приращениях. Ради краткости мы будем говорить, что вектор v = ( v 1 , … , v n ) ⊤ \m{v} = (v_1,\ldots, v_n)^\top v = ( v 1 , … , v n ) ⊤ лежит между нулём и вектором h = ( h 1 , … , h n ) ⊤ \m{h} = (h_1,\ldots, h_n)^\top h = ( h 1 , … , h n ) ⊤ , если 0 ≤ v i ≤ h i 0\le v_i \le h_i 0 ≤ v i ≤ h i . 1 ≤ i ≤ n . 1\le i \le n. 1 ≤ i ≤ n .
Theorem 2 (Формула конечных приращений)
Пусть U ⊆ R n \mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n U ⊆ R n — открытое множество, f : U → R f:\mathscr{U} \to \mathbb{R} f : U → R — функция, у которой во всех точках множества U \mathscr{U} U имеются конечные частные производные по всем переменным. Тогда для любых a , a + h ∈ U \m{a}, \m{a} + \m{h} \in \mathscr{U} a , a + h ∈ U справедливо равенство
f ( a + h ) − f ( a ) = ∑ k = 1 n f x k ′ ( a + v k ) ⋅ h k ,
f(\m{a} + \m{h}) - f(\m{a}) = \sum_{k =1}^n f'_{x_k}({\m{a} + \m{v}_k}) \cdot h_k, f ( a + h ) − f ( a ) = k = 1 ∑ n f x k ′ ( a + v k ) ⋅ h k , где v 1 , … , v n \m{v}_1, \ldots, \m{v}_n v 1 , … , v n — некоторые векторы, расположенные между нулём и вектором h . \m{h}. h .
Proof
Пусть
f 1 = f ( a 1 + h 1 , a 2 , … , a n ) − f ( a 1 , … , a n ) , f 2 = f ( a 1 + h 1 , a 2 + h 2 , a 3 … , a n ) − f ( a 1 + h 1 , … , a n ) , f 3 = f ( a 1 + h 1 , a 2 + h 2 , a 3 + h 3 , a 4 , … , a n ) − ( a 1 + h 1 , a 2 + h 2 , a 3 … , a n ) , ⋮ ⋮ f n = f ( a 1 + h 1 , … , a n + h n ) − f ( a 1 , … , a n ) , \begin{matrix}
f_1 & = & f(a_1 + h_1, a_2, \ldots, a_n) - f(a_1, \ldots, a_n), \\
f_2 & = & f(a_1 + h_1, a_2+h_2,a_3 \ldots, a_n) - f(a_1+h_1, \ldots, a_n),\\
f_3 &=& f(a_1+h_1, a_2+h_2, a_3+h_3,a_4,\ldots, a_n) - (a_1 + h_1, a_2+h_2,a_3 \ldots, a_n),\\
\vdots & & \vdots \\
f_n & = & f(a_1 + h_1, \ldots, a_n+h_n) - f(a_1, \ldots, a_n),
\end{matrix} f 1 f 2 f 3 ⋮ f n = = = = f ( a 1 + h 1 , a 2 , … , a n ) − f ( a 1 , … , a n ) , f ( a 1 + h 1 , a 2 + h 2 , a 3 … , a n ) − f ( a 1 + h 1 , … , a n ) , f ( a 1 + h 1 , a 2 + h 2 , a 3 + h 3 , a 4 , … , a n ) − ( a 1 + h 1 , a 2 + h 2 , a 3 … , a n ) , ⋮ f ( a 1 + h 1 , … , a n + h n ) − f ( a 1 , … , a n ) , тогда f ( a + h ) − f ( a ) = f 1 + ⋯ + f n . f(\m{a} + \m{h}) - f(\m{a}) = f_1 + \cdots + f_n. f ( a + h ) − f ( a ) = f 1 + ⋯ + f n .
Пусть
φ k ( t ) : = f ( a 1 + h 1 , … , a k − 1 + h k − 1 , a k + t k , a k + 1 , … , a n ) − f ( a 1 + h 1 , … , a k − 1 + h k − 1 , a k , … , a n ) .
\varphi_k(t): = f(a_1 + h_1, \ldots, a_{k-1}+h_{k-1},a_k+t_k, a_{k+1}, \ldots, a_n) - f(a_1 + h_1, \ldots, a_{k-1}+h_{k-1}, a_k,\ldots, a_n). φ k ( t ) := f ( a 1 + h 1 , … , a k − 1 + h k − 1 , a k + t k , a k + 1 , … , a n ) − f ( a 1 + h 1 , … , a k − 1 + h k − 1 , a k , … , a n ) . Для удобства мы запишем в векторном виде, т. е. в таком виде
φ k ( t ) : = f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 )
\varphi_k(t): = f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t\m{e}_k) - f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1}) φ k ( t ) := f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 ) Тогда получаем
φ k ( t ) − φ k ( t 0 ) = f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 ) − − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k ) + f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 ) = f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k ) , \begin{align*}
\varphi_k(t) - \varphi_k(t_0) &=& f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t\m{e}_k) - f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1}) \\
&-& -f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t_0\m{e}_k) + f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1}) \\
&=& f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t\m{e}_k) - f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t_0\m{e}_k),
\end{align*} φ k ( t ) − φ k ( t 0 ) = − = f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k ) + f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 ) f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k ) , в частности
φ k ( h k ) − φ k ( 0 ) = f k .
\varphi_k(h_k) - \varphi_k(0) = f_k. φ k ( h k ) − φ k ( 0 ) = f k . Пусть x 0 : = a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k \m{x}_0 := \m{a}+ h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1}+t_0\m{e}_k x 0 := a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k , тогда
a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k = a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + ( t − t 0 ) e k + a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k = x 0 + ( t − t 0 ) e k \begin{align*}
\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t\m{e}_k &=& \m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + (t-t_0)\m{e}_k \\
&+& \m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t_0\m{e}_k \\
&=& \m{x}_0 + (t-t_0) \m{e}_k
\end{align*} a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k = + = a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + ( t − t 0 ) e k a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k x 0 + ( t − t 0 ) e k Таким образом, мы можем написать
φ k ( t ) − φ k ( t 0 ) = f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k ) = f ( x 0 + ( t − t 0 ) e k ) − f ( x 0 ) , \begin{align*}
\varphi_k(t) - \varphi_k(t_0) &=& f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t\m{e}_k) - f(\m{a} + h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + t_0\m{e}_k) \\
&=& f(\m{x}_0 + (t-t_0) \m{e}_k) - f(\m{x}_0),
\end{align*} φ k ( t ) − φ k ( t 0 ) = = f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t e k ) − f ( a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + t 0 e k ) f ( x 0 + ( t − t 0 ) e k ) − f ( x 0 ) , а тогда
φ k ′ ( t 0 ) : = lim t → t 0 φ k ( t ) − φ k ( t 0 ) t − t 0 = lim t → t 0 f ( x 0 + ( t − t 0 ) e k ) − f ( x 0 ) t − t 0 = : ∂ f ∂ x k ∣ x 0 = f x k ′ ( x 0 ) . \begin{align*}
\varphi_k'(t_0) &:=& \lim_{t \to t_0} \frac{\varphi_k(t) - \varphi_k(t_0)}{t-t_0} \\
&=& \lim_{t \to t_0} \frac{f(\m{x}_0 + (t-t_0) \m{e}_k) - f(\m{x}_0)}{t-t_0} \\
&=:& \left.\frac{\partial f}{\partial x_k}\right|_{\m{x}_0} = f'_{x_k}(\m{x}_0).
\end{align*} φ k ′ ( t 0 ) := = =: t → t 0 lim t − t 0 φ k ( t ) − φ k ( t 0 ) t → t 0 lim t − t 0 f ( x 0 + ( t − t 0 ) e k ) − f ( x 0 ) ∂ x k ∂ f ∣ ∣ x 0 = f x k ′ ( x 0 ) . Это значит, что функция φ k ( t ) \varphi_k(t) φ k ( t ) дифференцируема на отрезке [ 0 , h k ] [0,h_k] [ 0 , h k ] , потому что по условию существуют все частные производные в U \mathscr{U} U .
Применим теперь к каждой φ k ( t ) \varphi_k(t) φ k ( t ) теорему Лагранжа (теорема Theorem 6 ); существует θ k ∈ ( 0 , h k ) \theta_k \in (0, h_k) θ k ∈ ( 0 , h k ) такое, что
φ k ′ ( θ k ) = φ k ( h k ) − φ k ( 0 ) h k ,
\varphi_k'(\theta_k) = \frac{\varphi_k(h_k) - \varphi_k(0)}{h_k}, φ k ′ ( θ k ) = h k φ k ( h k ) − φ k ( 0 ) , тогда, если v k : = a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + θ k e k \m{v}_k:= \m{a}+ h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + \theta_k\m{e}_k v k := a + h 1 e 1 + ⋯ + h k − 1 e k − 1 + θ k e k , то для каждого 1 ≤ k ≤ n 1\le k \le n 1 ≤ k ≤ n мы получили
f k = φ k ( h k ) − φ k ( 0 ) = φ k ′ ( θ k ) h k = f x k ′ ( a + v k ) h k ,
f_k = \varphi_k(h_k) - \varphi_k(0) = \varphi_k'(\theta_k)h_k = f'_{x_k}(\m{a} + \m{v}_k)h_k, f k = φ k ( h k ) − φ k ( 0 ) = φ k ′ ( θ k ) h k = f x k ′ ( a + v k ) h k , где все k \m{k} k расположены между a \m{a} a и a + h \m{a}+ \m{h} a + h , тогда окончательно получаем
f ( a + h ) − f ( a ) = f 1 + ⋯ + f n = f x 1 ′ ( a + v 1 ) h 1 + ⋯ + f x n ′ ( a + v n ) h n = ∑ k = 1 n f x k ′ ( a + v k ) ⋅ h k , \begin{align*}
f(\m{a} + \m{h}) - f(\m{a}) &=& f_1 + \cdots + f_n \\
&=& f'_{x_1}(\m{a} + \m{v}_1)h_1 + \cdots + f'_{x_n}(\m{a} + \m{v}_n)h_n \\
&=& \sum_{k =1}^n f'_{x_k}({\m{a} + \m{v}_k}) \cdot h_k,
\end{align*} f ( a + h ) − f ( a ) = = = f 1 + ⋯ + f n f x 1 ′ ( a + v 1 ) h 1 + ⋯ + f x n ′ ( a + v n ) h n k = 1 ∑ n f x k ′ ( a + v k ) ⋅ h k , что и требовалось доказать.
Theorem 3 (Достаточные условия дифференцируемости)
Пусть функция f f f имеет конечные частные производные по всем координатам в окрестности точки a \m{a} a . Если они непрерывны в точке a \m{a} a , то f f f дифференцируема в этой точке.
Proof
Пусть U \mathscr{U} U — окрестность точки a \m{a} a , и пусть a + h ∈ U \m{a} + \m{h} \in \mathscr{U} a + h ∈ U . Согласно формуле конечных приращений, (теорема Theorem 2 ) мы имеем
f ( a + h ) − f ( a ) = ∑ k = 1 n f x k ′ ( a + v k ) ⋅ h k ,
f(\m{a} + \m{h}) - f(\m{a}) = \sum_{k=1}^n f'_{x_k}({\m{a} + \m{v}_k})\cdot h_k, f ( a + h ) − f ( a ) = k = 1 ∑ n f x k ′ ( a + v k ) ⋅ h k , где a + v k ∈ U \m{a} + \m{v}_k \in \mathscr{U} a + v k ∈ U , 1 ≤ k ≤ n 1 \le k \le n 1 ≤ k ≤ n .
По условию, все частные производные непрерывны и конечны, тогда для любого ε > 0 \varepsilon >0 ε > 0 из ∣ ∣ v k ∣ ∣ < δ ||\m{v}_k|| < \delta ∣∣ v k ∣∣ < δ следует ∣ f x k ′ ( a + v k ) − f x k ′ ( a ) ∣ < ε |f'_{x_k}({\m{a} + \m{v}_k}) - f'_{x_k}(\m{a})| < \varepsilon ∣ f x k ′ ( a + v k ) − f x k ′ ( a ) ∣ < ε . Другими словами, можно сказать, что
f x k ′ ( a + v k ) = f x k ′ ( a ) + ε k ( h ) ,
f'_{x_k}({\m{a} + \m{v}_k}) = f_{x_k}'(\m{a}) + \varepsilon_k(\m{h}), f x k ′ ( a + v k ) = f x k ′ ( a ) + ε k ( h ) , где ε k ( h ) → 0 \varepsilon_k(\m{h}) \to 0 ε k ( h ) → 0 когда h → 0. \m{h} \to 0. h → 0.
Таким образом, получаем
f ( a + h ) − f ( a ) = ∑ k = 1 n ( f x k ′ ( a ) + ε k ( h ) ) h k = ∑ k = 1 n f x k ′ ( a ) h k + α ( h ) ,
f(\m{a} + \m{h}) - f(\m{a}) = \sum_{k=1}^n \bigl( f'_{x_k}(\m{a}) + \varepsilon_k(\m{h}) \bigr)h_k = \sum_{k=1}^n f'_{x_k}(\m{a}) h_k + \alpha(\m{h}), f ( a + h ) − f ( a ) = k = 1 ∑ n ( f x k ′ ( a ) + ε k ( h ) ) h k = k = 1 ∑ n f x k ′ ( a ) h k + α ( h ) , где α ( h ) : = ∑ k = 1 n ε k ( h ) h k \alpha(\m{h}): = \sum_{k=1}^n \varepsilon_k(\m{h}) h_k α ( h ) := ∑ k = 1 n ε k ( h ) h k . Ясно, что
α ( h ) ∣ ∣ h ∣ ∣ = ∑ k = 1 n ε k ( h ) h k ∣ ∣ h ∣ ∣ .
\frac{\alpha(\m{h})}{|| \m{h} ||} = \sum_{k=1}^n \varepsilon_k(\m{h}) \frac{h_k}{||\m{h} ||}. ∣∣ h ∣∣ α ( h ) = k = 1 ∑ n ε k ( h ) ∣∣ h ∣∣ h k . Наконец, согласно ((1) ),
∣ ∣ h ∣ ∣ = h 1 2 + ⋯ + h n 2 ≥ max 1 ≤ i ≤ n ∣ h i ∣ ,
|| \m{h} || = \sqrt{h_1^2 + \cdots + h_n^2} \ge \max_{1\le i \le n} |h_i|, ∣∣ h ∣∣ = h 1 2 + ⋯ + h n 2 ≥ 1 ≤ i ≤ n max ∣ h i ∣ , тогда
h k ∣ ∣ h ∣ ∣ < h i max 1 ≤ i ≤ n ∣ h i ∣ ≤ max 1 ≤ i ≤ n ∣ h i ∣ max 1 ≤ i ≤ n ∣ h i ∣ = 1
\frac{h_k}{|| \m{h}||} < \frac{h_i}{ \max_{1\le i \le n} |h_i|} \le \frac{\max_{1\le i \le n} |h_i|}{\max_{1\le i \le n} |h_i|} = 1 ∣∣ h ∣∣ h k < max 1 ≤ i ≤ n ∣ h i ∣ h i ≤ max 1 ≤ i ≤ n ∣ h i ∣ max 1 ≤ i ≤ n ∣ h i ∣ = 1 т. е. все дроби h k ∣ ∣ h ∣ ∣ \frac{h_k}{||\m{h}||} ∣∣ h ∣∣ h k ограничены. Далее, так как ε k ( h ) \varepsilon_k(\m{h}) ε k ( h ) бесконечно малые, мы получаем
f ( a + h ) − f ( a ) = ∑ k = 1 n f x k ′ ( a ) h k + o ( ∣ ∣ h ∣ ∣ ) ,
f(\m{a} + \m{h}) - f(\m{a}) = \sum_{k=1}^n f'_{x_k}(\m{a}) h_k + o(||\m{h}||), f ( a + h ) − f ( a ) = k = 1 ∑ n f x k ′ ( a ) h k + o ( ∣∣ h ∣∣ ) , а это и означает, что f f f дифференцируема.
Непрерывность линейных отображений ¶ Напомним, что линейное отображение L : R n → R m L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m L : R n → R m — это такое отображение, что
L ( α v + β u ) = α L ( v ) + β L ( u ) ,
L(\alpha \m{v} + \beta \m{u}) = \alpha L(\m{v}) + \beta L(\m{u}), L ( α v + β u ) = αL ( v ) + β L ( u ) , для любых v , u ∈ R n \m{v}, \m{u} \in \mathbb{R}^n v , u ∈ R n , α , β ∈ R \alpha,\beta \in \mathbb{R} α , β ∈ R .
Заметим, что
L ( 0 n ) = 0 m ,
L(\m{0}_n) = \m{0}_m, L ( 0 n ) = 0 m , где 0 k \m{0}_k 0 k — нулевой вектор векторного пространства R k \mathbb{R}^k R k .
Говорят, что линейное отображение L : R n → R m L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m L : R n → R m ограничено, если существует такое K ≥ 0 K \ge 0 K ≥ 0 , что для любого v ∈ R n \m{v} \in \mathbb{R}^n v ∈ R n , ∣ ∣ L ( v ) ∣ ∣ ≤ K ∣ ∣ v ∣ ∣ . || L(\m{v}) || \le K ||\m{v}||. ∣∣ L ( v ) ∣∣ ≤ K ∣∣ v ∣∣.
Proof
(1) ⟹ \Longrightarrow ⟹ (2). Это просто следует из того, что если L L L непрерывно, то оно непрерывно во всех точках R \mathbb{R} R , в частности и в нуле тоже.
(2) ⟹ \Longrightarrow ⟹ (3). Если L L L непрерывно в нуле, то это значит, что для любого ε > 0 \varepsilon >0 ε > 0 можно всегда найти такое δ > 0 \delta>0 δ > 0 , что из ∣ ∣ h ∣ ∣ < δ ||\m{h}|| <\delta ∣∣ h ∣∣ < δ будет следовать ∣ ∣ L ( h ) ∣ ∣ < ε ||L(\m{h})|| <\varepsilon ∣∣ L ( h ) ∣∣ < ε . Пусть ε = 1 \varepsilon = 1 ε = 1 , тогда мы всегда найдём такой δ > 0 \delta>0 δ > 0 , что если ∣ ∣ h ∣ ∣ < δ || \m{h} || < \delta ∣∣ h ∣∣ < δ , то ∣ ∣ L ( h ) ∣ ∣ < 1 || L(\m{h})|| < 1 ∣∣ L ( h ) ∣∣ < 1 . Зафиксируем такое δ . \delta. δ .
Возьмём теперь произвольный ненулевой вектор[1] v \m{v} v , тогда имеем
∣ ∣ L ( v ) ∣ ∣ = ∥ 2 δ ∣ ∣ v ∣ ∣ L ( δ v 2 ∣ ∣ v ∣ ∣ ) ∥ = 2 δ ∣ ∣ v ∣ ∣ ⋅ ∥ L ( δ v 2 ∣ ∣ v ∣ ∣ ) ∥ < 2 δ ∣ ∣ v ∣ ∣ \begin{align*}
|| L(\m{v}) || &=& \left\| \frac{2}{\delta} || \m{v} || L\left( \frac{\delta \m{v}}{2 || \m{v} ||}\right) \right\| \\
&=& \frac{2}{\delta} || \m{v}|| \cdot \left\| L\left( \frac{\delta \m{v}}{2 || \m{v} ||}\right) \right\| < \frac{2}{\delta} || \m{v}||
\end{align*} ∣∣ L ( v ) ∣∣ = = ∥ ∥ δ 2 ∣∣ v ∣∣ L ( 2∣∣ v ∣∣ δ v ) ∥ ∥ δ 2 ∣∣ v ∣∣ ⋅ ∥ ∥ L ( 2∣∣ v ∣∣ δ v ) ∥ ∥ < δ 2 ∣∣ v ∣∣ потому что
∥ δ v 2 ∣ ∣ v ∣ ∣ ∥ = δ 2 < δ ,
\left\|\frac{\delta \m{v}}{2 || \m{v} ||} \right\| = \frac{\delta}{2} < \delta, ∥ ∥ 2∣∣ v ∣∣ δ v ∥ ∥ = 2 δ < δ , и так как δ фиксировано, мы получаем требуемое.
(3) ⟹ \Longrightarrow ⟹ (1). Имеем
∣ ∣ L ( v ) − L ( u ) ∣ ∣ = ∣ ∣ L ( v − u ) ∣ ∣ ≤ K ∣ ∣ u − v ∣ ∣ ,
|| L(\m{v}) - L(\m{u}) || = || L(\m{v} - \m{u}) || \le K || \m{u} - \m{v} ||, ∣∣ L ( v ) − L ( u ) ∣∣ = ∣∣ L ( v − u ) ∣∣ ≤ K ∣∣ u − v ∣∣ , тогда если ∣ ∣ u − v ∣ ∣ < δ ||\m{u} - \m{v}|| < \delta ∣∣ u − v ∣∣ < δ , то ∣ ∣ L ( v ) − L ( u ) ∣ ∣ < K δ || L(\m{v}) - L(\m{u}) ||< K \delta ∣∣ L ( v ) − L ( u ) ∣∣ < Kδ ,
поэтому для любого ε > 0 \varepsilon >0 ε > 0 , если мы положим, что 0 < δ < ε K 0<\delta < \frac{\varepsilon}{K} 0 < δ < K ε , то мы и получаем непрерывность L L L .
Proof
Пусть L L L задаётся матрицей ( a i , j ) 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m (a_{i,j})_{1\le i \le n, 1 \le j \le m} ( a i , j ) 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m , тогда
L ( v ) = ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 … a m n ) ( v 1 ⋮ v n ) = ( a 11 v 1 + ⋯ + a 1 n v n ⋮ a m 1 v 1 + ⋯ + a m n v n ) = ( u 1 , … , u m ) ⊤ = : u ∈ R m , L(\m{v}) = \begin{pmatrix}
a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
v_1 \\ \vdots \\ v_n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_{11}v_1 + \cdots + a_{1n}v_n \\
\vdots \\
a_{m1}v_1 + \cdots + a_{mn}v_n
\end{pmatrix} = (u_1, \ldots, u_m)^\top =:\m{u} \in \mathbb{R}^m, L ( v ) = ⎝ ⎛ a 11 ⋮ a m 1 … ⋱ … a 1 n ⋮ a mn ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ v 1 ⋮ v n ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ a 11 v 1 + ⋯ + a 1 n v n ⋮ a m 1 v 1 + ⋯ + a mn v n ⎠ ⎞ = ( u 1 , … , u m ) ⊤ =: u ∈ R m , тогда
∣ ∣ L ( v ) ∣ ∣ = ∣ ∣ u ∣ ∣ = ( a 11 v 1 + ⋯ + a 1 n v n ) 2 + ⋯ + ( a m 1 v 1 + ⋯ + a m n v n ) 2 ≤ m max 1 ≤ k ≤ m ∣ a k 1 v 1 + ⋯ + a k n v n ∣ ≤ m max 1 ≤ k ≤ m ( ∣ a k 1 ∣ ⋅ ∣ v 1 ∣ + ⋯ + ∣ a k n ∣ ⋅ ∣ v n ∣ ) ≤ m max 1 ≤ k ≤ m ( ∣ a k 1 ∣ ⋅ ∣ ∣ v ∣ ∣ + ⋯ + ∣ a k n ∣ ⋅ ∣ ∣ v ∣ ∣ ) = m max 1 ≤ k ≤ m ( ∣ a k 1 ∣ + ⋯ + ∣ a k n ∣ ) ⋅ ∣ ∣ v ∣ ∣ = K ∣ ∣ v ∣ ∣ , \begin{align*}
||L(\m{v})|| &=& ||\m{u}|| \\
&=& \sqrt{(a_{11}v_1 + \cdots + a_{1n}v_n)^2 + \cdots + (a_{m1}v_1 + \cdots + a_{mn}v_n)^2} \\
&\le & \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m} \left| a_{k1}v_1 + \cdots + a_{kn}v_n \right| \\
&\le & \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m} \left( |a_{k1}| \cdot |v_1| + \cdots + |a_{kn}| \cdot |v_n| \right) \\
&\le & \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m} \left(|a_{k1}| \cdot || \m{v}|| + \cdots + |a_{kn}| \cdot || \m{v}|| \right) \\
&=& \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m}\left(|a_{k1}| + \cdots + |a_{kn}| \right) \cdot || \m{v}|| \\
&=& K || \m{v}||,
\end{align*} ∣∣ L ( v ) ∣∣ = = ≤ ≤ ≤ = = ∣∣ u ∣∣ ( a 11 v 1 + ⋯ + a 1 n v n ) 2 + ⋯ + ( a m 1 v 1 + ⋯ + a mn v n ) 2 m 1 ≤ k ≤ m max ∣ a k 1 v 1 + ⋯ + a kn v n ∣ m 1 ≤ k ≤ m max ( ∣ a k 1 ∣ ⋅ ∣ v 1 ∣ + ⋯ + ∣ a kn ∣ ⋅ ∣ v n ∣ ) m 1 ≤ k ≤ m max ( ∣ a k 1 ∣ ⋅ ∣∣ v ∣∣ + ⋯ + ∣ a kn ∣ ⋅ ∣∣ v ∣∣ ) m 1 ≤ k ≤ m max ( ∣ a k 1 ∣ + ⋯ + ∣ a kn ∣ ) ⋅ ∣∣ v ∣∣ K ∣∣ v ∣∣ , где K : = m max 1 ≤ k ≤ m ( ∣ a k 1 ∣ + ⋯ + ∣ a k n ∣ ) K: = \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m}\left(|a_{k1}| + \cdots + |a_{kn}| \right) K := m max 1 ≤ k ≤ m ( ∣ a k 1 ∣ + ⋯ + ∣ a kn ∣ ) , тогда по Предложению Proposition 1 оно непрерывно.