Необходимые и достаточные условия дифференцируемости

Пусть $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, дифференцируемая на каком-то открытом $\mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n$ или в фиксированной точке $\m{x}$. Тогда её дифференциал $(\mathrm{d}f)_\m{x}$ в точке $\m{x}$ задаётся матрицей размера $n\times 1$, $(\mathrm{d}f)_\m{x} = \begin{pmatrix} a_1 & \ldots & a_n \end{pmatrix}$, где все $a_i$ есть функции от $\m{x}$. Наша цель — найти эти $a_i$. Пусть $\m{h} = (h_1, \ldots, h_n)^\top \in \mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n$, тогда получаем

Видно, что $a_i$ не зависит от координат вектора $\m{h}$ кроме $h_i$ т. е. чтобы найти $a_i$, нам достаточно рассмотреть вектор $\m{h}_i = h_i \m{e}_i$, где $\m{e}_i$ — базисный вектор. В таком случае, $||\m{h}_i|| = |h_i|$, и тогда для каждого $1 \le i \le n$ мы получаем

таким образом,

такое выражение называется частной производной функции по переменной $x_i$ и обозначается либо как $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, либо как $f'_{x_i}$, т. е.

если же мы хотим знать её значение в точке $\m{x}_0$, то получаем

Пусть

тогда $f(\m{a} + \m{h}) - f(\m{a}) = f_1 + \cdots + f_n.$

Пусть

Для удобства мы запишем в векторном виде, т. е. в таком виде

Тогда получаем

в частности

Пусть $\m{x}_0 := \m{a}+ h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1}+t_0\m{e}_k$, тогда

Таким образом, мы можем написать

а тогда

Это значит, что функция $\varphi_k(t)$ дифференцируема на отрезке $[0,h_k]$, потому что по условию существуют все частные производные в $\mathscr{U}$.

Применим теперь к каждой $\varphi_k(t)$ теорему Лагранжа (теорема Theorem 6); существует $\theta_k \in (0, h_k)$ такое, что

тогда, если $\m{v}_k:= \m{a}+ h_1 \m{e}_1 + \cdots + h_{k-1}\m{e}_{k-1} + \theta_k\m{e}_k$, то для каждого $1\le k \le n$ мы получили

где все $\m{k}$ расположены между $\m{a}$ и $\m{a}+ \m{h}$, тогда окончательно получаем

что и требовалось доказать.

Пусть $\mathscr{U}$ — окрестность точки $\m{a}$, и пусть $\m{a} + \m{h} \in \mathscr{U}$. Согласно формуле конечных приращений, (теорема Theorem 2) мы имеем

где $\m{a} + \m{v}_k \in \mathscr{U}$, $1 \le k \le n$.

По условию, все частные производные непрерывны и конечны, тогда для любого $\varepsilon >0$ из $||\m{v}_k|| < \delta$ следует $|f'_{x_k}({\m{a} + \m{v}_k}) - f'_{x_k}(\m{a})| < \varepsilon$. Другими словами, можно сказать, что

где $\varepsilon_k(\m{h}) \to 0$ когда $\m{h} \to 0.$

Таким образом, получаем

где $\alpha(\m{h}): = \sum_{k=1}^n \varepsilon_k(\m{h}) h_k$. Ясно, что

Наконец, согласно (Equation),

тогда

т. е. все дроби $\frac{h_k}{||\m{h}||}$ ограничены. Далее, так как $\varepsilon_k(\m{h})$ бесконечно малые, мы получаем

а это и означает, что $f$ дифференцируема.