1.2 Предел последовательности - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

1.2.1Понятие последовательности¶

Понятие последовательности возникает во многих случаях.

Приведённые выше примеры хороши тем, что понятно, как строится эта последовательность. В том случае, когда у нас есть какое-то правило, которое позволяет сказать, как будет выглядеть её любой элемент, мы говорим, что последовательность задана общим элементом.

Разумеется, не все последовательности можно задать явным описанием, например, последовательность $(\mathscr{M}_n)$ хоть и является очень важной^[1], но на данный момент известен лишь её 22-ой элемент

$\mathscr{M}_1= 1,$	$\mathscr{M}_2 = 2,$	$\mathscr{M}_3 = 8,$	$\mathscr{M}_4 = 42,$
$\mathscr{M}_5= 262,$	$\mathscr{M}_6 = 1828,$	$\mathscr{M}_7 = 13820,$	$\mathscr{M}_8 = 110954,$
$\mathscr{M}_9= 933458,$	$\mathscr{M}_{10} = 8152860,$	$\mathscr{M}_{11} = 73424650,$	$\mathscr{M}_{12} = 678390116,$
$\mathscr{M}_{13}= 6405031050,$	$\mathscr{M}_{14} = 61606881612,$	$\mathscr{M}_{15} = 602188541928,$	$\mathscr{M}_{16} = 5969806669034,$

1.2.2Определение предела последовательности¶

В предыдущем примере мы видели, что элементы последовательности растут, т.е. с увеличением номера увеличивается и само значение элемента.

Example 1.2.2

Рассмотрим следующие примеры.

Если вписать в окружность единичного радиуса правильные многоугольники, то их периметры образуют последовательность $(p_n)$ , где $p_n$ — периметр правильного $(n+2)$ -угольника

$n$	1	2	3	4	5	6	7
$p_n$	5.1961	5.6568	5.8778	5.9999	6.0743	6.1229	6.1563

Из курса элементарной геометрии хорошо известно, что общий элемент этой последовательности задаётся формулой

p_n = 2(n+2)\sin\left(\frac{\pi}{n+2}\right),

и что эта последовательность — это десятичное приближение числа $2\pi.$ 2. Десятичное приближение числа $\sqrt{2}$ можно представить в виде последовательности

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$x_n$	1	1.4	1.41	1.414	1.4142	1.41421	1.142	1.414213	1.4142135	1.41421356

Предъявить формулу для общего элемента уже требует некоторых дальнейший знаний нашего предмета, и мы позже научимся это делать.

Рассмотрим последовательность обратную к последовательности натуральных чисел, т.е.
$\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{1}{3}, \, \frac{1}{4}, \, \frac{1}{5}, \, \frac{1}{6},\, \frac{1}{7},\, \frac{1}{8},\, \frac{1}{9},\, \frac{1}{10}, \ldots,$
общий элемент этой последовательности — это просто $x_n = \frac{1}{n}$ , $n \in \mathbb{N}.$ Первые 12 элементов этой последовательности можно выписать как десятичные дроби в следующей таблице:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x_n$	1	0.5	0.333	0.25	0.2	0.166	0.142	0.125	0.111	0.1	0.09	0.0833

Наконец, мы можем придумать любое выражение в котором присутствует натуральное число, например, рассмотрим последовательность $(a_n)$ , у которой общий элемент задаётся формулой
$a_n = \frac{2n}{n+3},$
её первые 14 элементов выглядят следующим образом

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
$a_n$	0.5	0.8	1	1.14	1.25	1.33	1.4	1.45	1.5	1.53	1.57	1.6	1.62	1.647

Итак, мы подошли к очень важному понятию.

Это же определение в кванторах записывается следующим образом:

\boxed{ \lim_{n \to \infty } x_n = x \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\, \exists N \in \mathbb{N}\, :\, \forall n >N, \, |x_n - x| <\varepsilon. }

See Also

Неравенство $|x_n-x|<\varepsilon$ эквивалентно системе $x-\varepsilon <x_n < x+ \varepsilon$ . Тогда определение предела может пониматься так, что начиная с какого-то номера $N$ , ВСЕ остальные элементы последовательности $x_{N+1}, x_{N+2}, \ldots,$ попадут в интервал $(x-\varepsilon, x+\varepsilon)$ .

Далее число $\varepsilon>0$ здесь нужно, чтобы сказать, что этот интервал может быть сколь угодно малым.

Напротив, если хотя бы один элемент $x_m$ при $m>N$ не попадает в интервал $(x-\varepsilon, x+\varepsilon),$ то $x$ не будет пределом этой последовательности!

Example 1.2.3

Рассмотрим последовательность $(x_n)$

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{1}{3}, \, \frac{1}{4}, \, \frac{1}{5}, \, \frac{1}{6},\, \frac{1}{7},\, \frac{1}{8},\, \frac{1}{9},\, \frac{1}{10}, \ldots,

и покажем, что $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ .

Используя определение, нам нужно найти для любого $\varepsilon >0$ такой номер $N$ , что $|x_n - 0| < \varepsilon$ для всех $n>N$ .

Итак, рассмотрим неравенство $|x_n - 0| < \varepsilon$ , так как $x_n = \frac{1}{n}$ и $n\ge 1$ , то это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству $n > \frac{1}{\varepsilon}$ .

Пусть

N := \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor \mbox{ = целая часть числа.}

Тогда если $n>N$ , то все $x_{N+1}, x_{N+2}, \ldots$ будут меньше чем $\varepsilon.$ Например, пусть $\varepsilon = 0.1$ , тогда $N = 10$ , и, значит, ВСЕ элементы этой последовательности, начиная с $x_{11}$ , будут меньше, чем $\varepsilon = 0.1$ , т.е. $x_{11}, x_{12}, x_{13}, \ldots < 0.1$ .

Действительно, имеем

$\textcolor{blue}{x_1= \frac{1}{1}= 1,}$	$\textcolor{blue}{x_2= \frac{1}{2}= 0.5,}$	$\textcolor{blue}{x_3= \frac{1}{3}= 0.333...,}$	$\textcolor{blue}{x_4= \frac{1}{4}= 0.25,}$
$x_5= \frac{1}{5}= 0.2,$	$x_6= \frac{1}{6}= 0.166...,$	$x_7= \frac{1}{7}= 0.142,$	$x_8= \frac{1}{8}= 0.125,$
$x_9= \frac{1}{9} = 0.111...,$	$x_{10} = \frac{1}{10} = 0.1,$	$\textcolor{red}{x_{11} = \frac{1}{11} = 0.09...,}$	$\textcolor{red}{x_{12} = \frac{1}{12} = 0.0833..,}$
$\textcolor{red}{x_{13}= \frac{1}{13} = 0.076...,}$	$\textcolor{red}{x_{14} = \frac{1}{14} =0.0714,}$	$\textcolor{red}{x_{15} = \frac{1}{15} = 0.0666...,}$	$\textcolor{red}{x_{16} = \frac{1}{16} = 0.0625,}$

Красным цветом показаны те элементы последовательности, которые меньше заданного $\varepsilon =0.1$ . Синим показаны те элементы, для которых верно неравенство $|x_n - 1| < 0.8.$

Покажем, например, что 1 не является пределом этой последовательности. Если бы 1 был бы пределом этой последовательности, то неравенство $|x_n-1|<\varepsilon$ выполнялось бы при всех $n>N$ , начиная с какого-то $N$ . Но так как $x_n <1$ , то это неравенство эквивалентно неравенству $1-\frac{1}{n}<\varepsilon$ и влечёт $n < \frac{1}{1-\varepsilon}$ .

Таким образом, неравенство $|x_n -1| < \varepsilon$ будет выполняться лишь для КОНЕЧНОГО числа номеров $n$ !

Например, если $\varepsilon =0.8$ , то $\frac{1}{1-0.8} = \frac{1}{0.2} = 5$ , т. е. неравенство

\left |\frac{1}{n}-1 \right|<0.8

выполнено только для $x_1,x_2,x_3,x_4$ , что видно из таблицы. Это означает, что 1 не является пределом этой последовательности.

Как мы уже показали, последовательность

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{1}{3}, \, \frac{1}{4}, \, \frac{1}{5}, \, \frac{1}{6},\, \frac{1}{7},\, \frac{1}{8},\, \frac{1}{9},\, \frac{1}{10}, \ldots,

является бесконечно малой.

Proof

Действительно, имеем следующую цепочку эквивалентностей

\begin{align*} \lim_{n \to \infty} x_n = x & \Longleftrightarrow & \forall \varepsilon >0\, \exists N \in \mathbb{N}\, :\, \forall n >N, \, |x_n - x| <\varepsilon \\ &\Longleftrightarrow& \forall \varepsilon >0\, \exists N \in \mathbb{N}\, :\, \forall n >N, \, |x_n' - 0| <\varepsilon \\ &\Longleftrightarrow & \lim_{n \to \infty} x'_n = 0. \end{align*}

Example 1.2.4

Рассмотрим последовательность $(a_n)$ , где $a_n = \frac{2n}{n+3}$ и выпишем её первые 15 элементов:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$a_n$	0.5	0.8	1	1.14	1.25	1.33	1.4	1.45	1.5	1.53	1.57	1.6	1.62	1.647	1.666

Мы утверждаем, что $\lim_{n\to \infty}a_n =2$ , чтобы это доказать, мы рассмотрим последовательность $(a_n')$ , где $a_n' := a_n -2$ и покажем, что эта последовательность бесконечно малая.

Имеем

a_n'=a_n -2= \frac{ 2n}{n+3} -2 = - \frac{6}{n+3}.

Тогда, чтобы доказать, что $\lim_{n\to \infty } a_n' = 0$ , нужно для любого $\varepsilon >0$ найти такой номер $N$ , что все остальные $x_{N+1}, x_{N+2}, \ldots$ попадут в промежуток $(-\varepsilon, \varepsilon)$ . Другими словами, для всех $n>N$ должно выполняться неравенство

\left|-\frac{6}{n+3}\right|<\varepsilon

Но, в таком случае, мы легко находим $n> \frac{6}{\varepsilon} - 3$ , то есть, начиная с номера $N= \left\lfloor \frac{6}{\varepsilon} - 3 \right\rfloor$ , все $x_{N+1}, x_{N+2}, \ldots,$ будут находиться в интервале $(-\varepsilon, \varepsilon).$

Пусть, например, $\varepsilon = 0.1$ , тогда

N =\left\lfloor \frac{6}{0.1} - 3 \right\rfloor = \left\lfloor 60 - 3 \right\rfloor = 57,

т. е. все $a'_{58},a'_{59}, \ldots$ будут находиться в промежутке $(-0.1, 0.1)$ , в чём можно убедится вычислив эти значения последовательности $(a_n')$ , $a_n' = a_n - 2 = -\frac{6}{n+3}$

$n$	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65
$a'_n$	-0.103	-0.101	-0.1	-0.09	-0.096	-0.095	-0.093	-0.0923	-0.0909	-0.089	-0.088

Example 1.2.5

С другой стороны, вернёмся к последовательности $(x_n)$ , $x_n = \frac{1}{n}$

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{1}{3}, \, \frac{1}{4}, \, \frac{1}{5}, \, \frac{1}{6},\, \frac{1}{7},\, \frac{1}{8},\, \frac{1}{9},\, \frac{1}{10}, \ldots,

и рассмотрим последовательность $(x_n')$ , где $x_n':= x_n - 1$ .

Первые её 12 элементов имеют вид

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x_n'$	0	-0.5	-0.666	-0.75	-0.8	-0.833	-0.857	-0.875	-0.888	-0.9	-0.909	-0.916

Мы уже показали, что 1 не является пределом последовательности $x_n$ , а тогда $x_n'$ не является бесконечно малой, что и подтверждает эта таблица.

1.2.3Отделимость, существование и единственность предела¶

Proof

Так как $\lim_{n\to \infty } x_n = x$ , то для любого числа $\varepsilon>0$ можно найти такой номер $N$ , что при всех $n>N$ , $|x_n-x|<\varepsilon$ . Так как по условию $x>0$ , то мы можем положить $\varepsilon := \frac{x}{2}$ , тогда можно найти такой номер $N'$ , что

|x_n - x|<\frac{x}{2}

для всех $n>N'$ .

Последнее неравенство равносильно системе неравенств

\frac{x}{2}< x_n < \frac{3x}{2}

но так как $x>0$ , то мы получаем $0<\frac{x}{2}< x_n < \frac{3x}{2}$ . Поэтому если положить, что $N_0 :=N'$ ,то при всех $n>N_0$ , имеем $x_n > \frac{x}{2}$ , что и завершает доказательство.

Обратимся теперь к вопросу о существовании предела у последовательности.

Example 1.2.6

Рассмотрим последовательность $(x_n):$

1,\,2,\,3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, \ldots,

и пусть $\lim_{n \to \infty}x_n = a$ , тогда по определению для любого $\varepsilon>0$ можно найти такой номер $N$ , что при всех $n>N$ будем выполняться неравенство $|x_n - a|<\varepsilon$ , а так как $x_n = n$ , то $|n-a|<\varepsilon$ . Но если $a$ — фиксированное число, то выражение $|n-a|$ можно сделать сколь угодно большим при $n>a$ . Таким образом, эта последовательность не может иметь предела.

Example 1.2.7

Рассмотрим теперь последовательность $(x_n)$ , где $x_n = (-1)^n:$

-1,\, 1,\,-1,\, 1,\,-1,\, 1,\,-1,\, 1,\,-1,\, 1,\,-1,\, 1,\,-1,\, 1,\, \ldots

и покажем, что эта последовательность не имеет предела. Пусть она имеет предел, скажем, $x$ .

Пусть $0 \le x <1$ , тогда, выбрав $\varepsilon$ такой, что $\varepsilon < 1-x$ , мы видим, что ни один элемент этой последовательности не лежит в интервале $(x- \varepsilon, x+\varepsilon)$ . Аналогично рассматривается случай $-1<x\le 0$ . Пусть $x\ge 1$ , тогда, выбрав $\varepsilon < 1$ , мы видим, что не все элементы попадают в интервал $(x-\varepsilon, x+ \varepsilon)$ , а именно туда не попадут элементы -1. Аналогично рассматривается случай, когда $x\le -1$ . Это и показывает, что такая последовательность не имеет предела.

Proof

Пусть последовательность $\m{x} = \{x_n\}_{n=1}^\infty$ имеет два предела, скажем $a,b$ , при этом $a\ne b$ . Тогда по определению предела для любого $\varepsilon>0$ мы можем найти такие $N, M$ , что $|x_n - a|<\varepsilon$ , когда $n>N$ , и $|x_m-b|<\varepsilon$ , при $m>M$ . Пусть $K:=\max\{N,M\}$ , тогда при $k>K$ мы будем иметь:

\begin{align*} |a-b| &= |a-x_K + x_K -b| \\ &\le |a-x_K| + |x_K-b| \\ &\le \varepsilon + \varepsilon \\ &= 2 \varepsilon. \end{align*}

А теперь воспользуемся тем фактом, что это неравенство должно выполняться для любого числа $\varepsilon>0$ . Тогда, выбрав, например, $\varepsilon = \frac{1}{3}|a-b|$ , мы приходим к противоречию.

Remark 1.2.2

Вообще-то, можно придумать пример пространства, на котором одна и та же последовательность будет иметь более, чем один предел. Например, возьмём два экземпляра прямой $\mathbb{R}$ и склеим их по всем точкам кроме нуля.

Более строго: рассмотрим фактормножество $\mathbb{R}\times \mathbb{R}/\sim$ , где $x \sim y$ всегда, когда $x,y \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ . То, что получилось, называется прямой с удвоенной точкой (affine line with double origin). Тогда последовательность будет как раз и иметь два предела, соответствующие этой двойной точке.

Но! Это уже не математический анализ, и такие структуры мы рассматривать не будем.

Footnotes¶

это последовательность меандров с заданным порядком, OEIS
↩

1. Действительные числа и последовательности

1.1 Действительные числа

1. Действительные числа и последовательности

1.3 Некоторые свойства предела