Кратные интегралы. Брус. Интегрируемость по Риману

Лекция 1, 10.09.2024

1.1Брус. Мера бруса¶

1.2Свойства меры бруса в $\mathbb{R}^n$ ¶

Однородность

\mu(I_{\lambda a,\lambda b})=\lambda^n\mu(I_{a,b}),\lambda\geq0

a=\{a_1,\dots,a_n\}, b=\{b_1,\dots,b_n\}

Аддитивность

Пусть $I, I_1,\dots,I_k\colon I=\bigcup^k_{i=1}I_i$ . $I_1,\dots,I_k$ не имеют общих внутренних точек $\implies |I|=\sum^k_{i=1}|I_i|$

Монотонность

$I\subset\bigcup^k_{i=1}I_i$ — покрыт конечной системой брусов $\implies |I|<\sum^k_{i=1}|I_i|$

1.3Разбиения¶

Figure 1.1:Любое произвольное разбиение можно свести к сеточному

Figure 1.2:У всех примеров диаметр одинаковый, т. к. это всё точки на круге.

1.4Интегральные суммы¶

$I$ — невырожденный замкнутый брус, $f\colon I\mapsto\mathbb{R}$ определена на $I$ .

Definition 1.10

Будем говорить, что функция $f$ интегрируема (по Риману) на замкнутом брусе $I\ (f\colon I\mapsto\mathbb{R})$ , если $\exists A\in\mathbb{R},\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall(\mathbb{T},\boldsymbol{\xi})\colon \Delta_{\mathbb{T}}<\delta$ верно, что $|\sigma(f,\mathbb{T},\xi)-A|<\varepsilon$ . Тогда

A=\int\limits_I f(x)\d x=\underset{I}{\int\ldots\int} f(x_1,\ldots,x_n)\d x_1\dots \d x_n

Обозначение: $f\in \mathcal{R}(I)$

1.5Примеры¶

Example 1.2 (Неинтегрируемая функция)

$I=[0,1]^n$

f=\begin{cases} 1, & \forall i=\overline{1,\dots,n}, & x_i\in\mathbb{Q}\\ 0, & \text{иначе} \end{cases}

$\forall\mathbb{T}$ можно выбрать $\xi_i\in\mathbb{Q}$ , тогда для такого размеченного разбиения $(\mathbb{T},\boldsymbol{\xi})$

\sigma(f,\mathbb{T},\boldsymbol{\xi})=\sum^k_{i=1}|I_i|=|I|=1

$\forall\mathbb{T}$ можно выбрать $\hat\xi_i\not\in\mathbb{Q}$ , тогда

\sigma(f,\mathbb{T},\hat{\boldsymbol{\xi}})=\sum^k_{i=1}0\cdot|I_i|=0\implies f\not\in R(I)

Example 1.3

Вычислите интеграл, рассматривая его как представление интегральной суммы при сеточном разбиении квадрата $I=[0,1]\times[0,1]$ на ячейки — квадраты со сторонами, длины которых равны $\frac{1}{n}$ , выбирая в качестве точек $\xi_i$ нижние правые вершины ячеек.

Figure 1.3:Нижние правые вершины ячеек.

\iint\limits_{\overset{\scriptstyle 0\leq x\leq 1}{0\leq y\leq 1}}xy\d x\d y

дана функция $f=xy, |I_i|=\frac{1}{n^2}$

\begin{align*}\sigma(f,\mathbb{T},\boldsymbol{\xi})&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{i}{n}\frac{j}{n}\frac{1}{n^2}\\&=\frac{1}{n^4}\sum_{i=1}^n i\sum_{j=1}^n j\\&=\frac{(n+1)n}{2n^4}\sum^n_{i=1}i\\&=\frac{(n+1)^2n^2}{4n^4}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{4}\end{align*}

Проверка:

\int\limits_0^1xdx\int\limits^{1}_0ydy=\frac{1}{2}\int\limits^1_0xdx=\frac{1}{4}

II курс

Несколько вводных слов