Свойства кратных интегралов. Условия интегрирования - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Лекция 2, 17.09.2024

2.1Свойства кратного интеграла¶

2.1.1Линейность¶

Proof

\begin{align*}f\in\mathcal{R}(I)\implies\forall\varepsilon>0,\exists\delta_1>0,\forall(\mathbb{T},\xi)\colon\Delta_{\T}<\delta_1,&\\\left|\sigma(f,\mathbb{T},\xi)-\int\limits_If\d x\right|<\frac{\varepsilon}{{1+|\alpha|+|\beta|}}&\end{align*}

\begin{align*}g\in\mathcal{R}(I)\implies\forall\varepsilon>0,\exists\delta_2>0,\forall(\mathbb{T},\xi)\colon\Delta_{\T}<\delta_2,&\\\left|\sigma(g,\mathbb{T},\xi)-\int\limits_If\d x\right|<\frac{\varepsilon}{1+|\alpha|+|\beta|}&\end{align*}

Пусть тогда $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \implies$

\forall\ve>0,\exist\delta,\forall(\T,\xi)\colon\Delta_\T<\delta

|\sigma_f-A_f|<\frac{\ve}{1+|\alpha|+|\beta|},\qquad |\sigma_g-A_g|<\frac{\ve}{1+|\alpha|+|\beta|}

тогда рассмотрим

|\sigma_{\alpha f+\beta g}-A_{\alpha f+\beta g}|\leq|\alpha|\cdot|\sigma_f-A_f|+|\beta|\cdot|\sigma_g-A_g|<(|\alpha|+|\beta|)\cdot\frac{\ve}{1+|\alpha|+|\beta|}<\ve

2.1.2Монотонность¶

Proof 2.1

\forall\ve>0,\exists\delta>0\colon\forall(\T,\xi)\colon\Delta_\T<\delta\colon\begin{align*}&\left|\int\limits_If\d x-\sigma_f\right|<\ve\\&\left|\int\limits_Ig\d x-\sigma_g\,\right|<\ve\end{align*}

\begin{align*}&\int\limits_I f\d x-\ve<\sigma_f\leq\sigma_g<\int\limits_Ig\d x+\ve\\&\implies\int\limits_If\d x<\int\limits_I g\d x+2\ve\end{align*}

т. к. неравенство должно быть верно $\forall\ve>0$ даже для $\ve\ll 1$ , то

\int\limits_If\d x\leq\int\limits_Ig\d x

2.1.3Оценка интеграла (сверху)¶

2.2Необходимое условие интегрируемости¶

Proof

(от противного) Пусть $f$ неограничена на $I\implies\forall$ разбиения $\T=\{I_i\}^k_{i=1}$ бруса $I$ , $\exists i_0\colon f$ неограничена на $I_{i_0}$ .

$f\in\mathcal{R}(I)\implies\forall\ve>0$ , а значит и для $\ve=1,\exists\delta>0\colon\forall(\T,\xi)\colon\Delta_\T<\delta$ верно

\left|\sigma(f,\T,\xi)-\overbrace{\int\limits_Tf(x)\d x}^A\right|< 1

где $\displaystyle\exists A=\int\limits_If(x)\d x$ — конечный $\implies$

\overbrace{\int\limits_If(x)\d x}^A-1<\sigma(f,\T,\xi)<\overbrace{\int\limits_If(x)\d x}^A + 1\implies

$\sigma(f,\T,\xi)$ — ограничена

Однако с другой стороны по пункту 1 $\implies$

\sigma(f,\T,\xi)=\sum_{i\neq i_0}f(\xi_i)|I_i|+f(\xi_{i_0})|I_{i_0}|

т. к. на $I_{i_0} f(x)$ — неограниченная $\implies$ выбором подходящего $\xi_{i_0}$ можно сделать $f(\xi_{i_0})|I_{i_0}$ вместе с $\sigma(f, \T, \xi)$ сколь угодно большой $\implies$ (1) и (2) противоречат $\implies f$ — ограничена на $I$ .

2.3Мера по Лебегу¶

2.4Свойства множества меры нуль по Лебегу¶

Proof

Докажем в обе стороны:

открытые $\implies$ замкнутые Пусть $\{I_i\}$ в определении открыты, т. е. $\forall\ve>0,\exists$ не более, чем счётное $\{I_i\}\colon$
$M\subset \bigcup_iI_i,\quad \sum_i|I_i|<\ve$
Замкнём каждый из $I_i$ и получим $\overline{I_i}$ , тогда $|I_i|=|\overline{I_i}|$ , тогда
$M\subset\bigcup_i\overline{I_i},\quad \sum_i|\overline{I_i}|<\ve$
замкнутые $\implies$ открытые
- Пусть $\{I_i\}=\{[a_1^i,b_1^i]\times\ldots\times[a_n^i,b_n^i]\}$ — замкнутые брусы и $M\subset\bigcup_i I_i$
- Увеличим $I_i$ до $\tilde I_i=\left[\frac{a_1^i+a_1^i}{2}-(b_1^i-a_1^i),\frac{a_1^i+b_1^i}{2}+(b_1^i-a_1^i)\right]\times\ldots$ , т. е. каждую сторону $I_i$ увеличиваем в два раза, тогда если
$\underbrace{\sum_{i=1}|I_i|}_{V_1}<\frac{\ve}{2^n}$
то
$\underbrace{\sum|\tilde I_i|}_{V_2=2^nV_1<\ve}<\ve$

Proof 2.3

Пусть $\{M_k\}_{k=1}^\infty$ — счётное (для конечного ещё проще), т. е. $\forall i, M_k$ — множество меры нуль, то $\forall i,\exists$ не более, чем счётное $\{I^k_i\}\colon$

M_k\subset\bigcup_i^k,\quad \sum|I_i^k|<\ve_k=\frac{\ve}{2^k},\forall \ve_k>0

Рассмотрим $\displaystyle M=\bigcup^\infty_{k=1}M_k$ , тогда

M\subset\bigcup_{i,k}I_i^k,\quad \sum_{i,k}|I^k_i|<\sum^\infty_{k=1}\ve_k=\sum^\infty_{k=1}\frac{\ve}{2^k}=\ve\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}=\ve

$M$ — множество меры нуль по лебегу, $L\subset M$ — подмножество $M\implies$ $L$ — множество меры нуль по Лебегу.

Не более чем счётное объединение множеств меры нуль по Лебегу является множеством меры нуль.

Proof 2.5

$\{M_i\}$ — не более чем счётный набор, где $\forall i, M_i$ — множество меры нуль. $\implies \forall i, \forall \varepsilon_i,\exists$ не более чем счётное $\{I_j^i\}$ брусов (замкнутых или открытых).

$M_i\subset U_jI^i_j$ и $\sum_j|I_j^i|<\varepsilon_i, \varepsilon_i=\frac{\varepsilon}{2^i}$

тогда $M=\bigcup M_i$ и $M\bigcup_{i,j}I^0_j$ . Мы хотим, чтобы $\forall \varepsilon>0$

$ $\sum_{i, j}|I^i_j|=\sum_i\left(\sum_о|I_j^i|\right)<\sum_i\varepsilon_i=\sum_i\frac{\varepsilon}{2^i}=\varepsilon\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\varepsilon$

случай $\{M_i\}^N_{i=1}$ — конечный набор

\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_N=\frac{N}{N+1}\varepsilon<\varepsilon

\varepsilon_i=\frac{\varepsilon}{N+1}

II курс

Кратные интегралы. Брус. Интегрируемость по Риману

II курс

Топология в ℝⁿ