Частные производные и явная формула для дифференциала - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Рассмотрим теперь функцию $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , дифференцируемую на каком-то открытом $\mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n$ или в фиксированной точке $\m{x}$ . Тогда её дифференциал $(\mathrm{d}f)_\m{x}$ в точке $\m{x}$ задаётся матрицей размера $n\times 1$ , $(\mathrm{d}f)_\m{x} = \begin{pmatrix} a_1 & \ldots & a_n \end{pmatrix}$ , где все $a_i$ есть функции от $\m{x}$ . Наша цель — найти эти $a_i$ . Пусть $\m{h} = (h_1, \ldots, h_n)^\top \in \mathbb{R}^n$ , тогда получаем

\begin{align*} f(\m{x} + \m{h}) - f(\m{x}) &=& (\mathrm{d}f)_\m{x}(\m{h}) + o(||\m{h}||) \\ &=& \begin{pmatrix} a_1 & \ldots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ \vdots \\ h_n \end{pmatrix} + o(||\m{h}||) \\ &=& a_1h_1 + \cdots + a_nh_n + o(||\m{h}||). \end{align*}

Видно, что $a_i$ не зависит от координат вектора $\m{h}$ кроме $h_i$ т. е. чтобы найти $a_i$ , нам достаточно рассмотреть вектор $\m{h}_i = h_i \m{e}_i$ , где $\m{e}_i$ — базисный вектор. В таком случае, $||\m{h}_i|| = |h_i|$ и тогда для каждого $1 \le i \le n$ мы получаем

f(\m{x} + h_i \m{e}_i) - f(\m{x}) = a_ih_i + o(|h_i|),

таким образом,

a_i = \lim_{h_i \to 0} \frac{f(\m{x} + h_i \m{e}_i) - f(\m{x})}{h_i},

такое выражение называется частной производной функции по переменной $x_i$ и обозначается либо как $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ , либо как $f'_{x_i}$ , т. е.

\boxed{ \frac{\partial f}{\partial x_i}: = \lim_{h_i \to 0} \frac{f(\m{x} + h_i \m{e}_i) - f(\m{x})}{h_i}}

(1)

если же мы хотим знать её значение в точке $\m{x}_0$ , то получаем

\boxed{ \frac{\partial f}{\partial x_i}(\m{x}_0): = \lim_{h_i \to 0} \frac{f(\m{x}_0 + h_i \m{e}_i) - f(\m{x}_0)}{h_i}. }

(2)

Таким образом, в случае функции $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ дифференциал в точке $\m{x}_0$ находится по формуле

(\mathrm{d}f)_{\m{x}_0}: = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\m{x}_0) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(\m{x}_0) \end{pmatrix}.

Тогда для любого вектора $\m{h} = (h_1,\ldots, h_n)^\top$ ,

(\mathrm{d}f)_{\m{x}_0}(\m{h}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\m{x}_0) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(\m{x}_0) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ \vdots \\ h_n \end{pmatrix} = ((\mathrm{d}f)_{\m{x}_0}, \m{h}),

где последняя скобка означает скалярное произведение.

1Геометрический смысл частных производных¶

Итак, мы уже поняли, что если $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — дифференцируемая функция в точке $x_0$ , то значение её производной в точке $x_0$ можно понимать как наклон касательной к графику этой функции в точке $(x_0, f(x_0))$ . Пусть теперь $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ — функция от $n>1$ переменных, и пусть она дифференцируема в точке $\m{x}_0$ . Тогда возникает вопрос, о чём говорят значения её частных производных в точке $\m{x}_0$ ?

Для наглядности мы ограничимся случаем, когда $n=2$ , случай, когда $n >2$ , совершенно аналогичен.

Итак, пусть у нас есть функция $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , которая дифференцируема в точке $(x_0,y_0)$ . Рассечём её график плоскостью, параллельной плоскости $yz$ , через точку $(x_0,y_0,0)$ . Тогда мы получаем кривую, которая представляется какой-то функцией от $y$ . Тогда, согласно определению частой производной, мы видим, что наклон к графику этой функции и есть значение $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ .

Мы рассекли график z =f(x,y) плоскостью, параллельной плоскости yz, через точку (x_0,y_0,0). Тогда мы получаем кривую, которая представляется какой-то функцией от y, и её наклон и есть \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0). — Мы рассекли график $z =f(x,y)$ плоскостью, параллельной плоскости $yz$ , через точку $(x_0,y_0,0)$ . Тогда мы получаем кривую, которая представляется какой-то функцией от $y$ , и её наклон и есть $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ .

С другой стороны, мы можем пойти дальше и рассечь этот же график, но уже не параллельной ни плоскости $yz$ , ни плоскости $xz$ . Как тогда вычислить наклон?

Мы рассекли график плоскостью, но уже не параллельной ни плоскости yz, ни плоскости xz. — Мы рассекли график плоскостью, но уже не параллельной ни плоскости $yz$ , ни плоскости $xz$ .

Чтобы ответить на этот вопрос, мы рассмотрим множество всех прямых, которые касаются графика в точке $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$ . Такое множество мы называем касательной плоскостью к графику $z = f(x,y).$

Уравнение плоскости, которая проходит через точку $(0,0,0)$ , имеет вид $z = Ax + By$ . Тогда сдвинув эту плоскость к точке $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$ , мы получим тогда такое уравнение плоскости: $z - f(x_0,y_0) = A(x-x_0) + B(y-y_0)$ . Осталось найти коэффициенты $A,B$ , чтобы эта плоскость стала касательной. Пересечём эту плоскость с плоскостью $y=y_0$ , в результате мы получаем прямую $z(x, y_0) - f(x_0,y_0) = A(x-x_0)$ , тогда потребовав, чтобы эта прямая была касательной, мы получаем, что $A = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ . Аналогично находим $B = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ .

Итак, уравнение плоскости имеет вид

z - f(x_0,y_0) = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)} (x-x_0) + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)} (y-y_0)

Вернёмся ещё раз к предыдущему рисунку. Введём обозначения. Пусть $P$ — вертикальная плоскость, проходящая через точку $(x_0,y_0)$ . Пусть $\ell$ — прямая, по которой $P$ пересекает плоскость $xy$ . Касательную прямую к кривой, которую высекает плоскость $P$ , мы обозначим через $L$ . Касательная плоскость в точке $(x_0,y_0, f(x_0,y_0))$ пусть будет $T$ . Далее, рассмотрим вектор $\m{v}$ , который лежит на $\ell$ , выходит из точки $(x_0,y_0)$ и кончается в $(x_0+a, y_0 +b)$ , т. е. имеет координаты $(a,b)$ .

Имеем

\begin{align*} T(x_0 + a, y_0 + b) - T(x_0,y_0) &=& \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)} (x_0 +a-x_0) + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)} (y_0 +b-y_0) \\ &=& a\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)} + b\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)} \\ &=& \langle \m{v} , \nabla f (x_0, y_0) \rangle \end{align*}

Тогда, чтобы вычислить наклон, нужно потребовать, чтобы один из катетов в прямоугольном треугольнике был равен 1, таким образом, если $a^2 + b^2 = 1$ , то искомый наклон и есть число $\langle \m{v} , \nabla f (x_0, y_0) \rangle.$

Definition 2

Пусть $\gamma: (-c,c) \to \mathbb{R}^n$ — кривая в $\mathbb{R}$ , т. е. отображение непрерывно. Пусть $\gamma(0) = \m{x}_0$ , и пусть γ дифференцируема в точке $t = 0$ , и $\dot\gamma(0) = \m{v}.$ Наконец, пусть $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ — дифференцируемая в точке $\m{x}_0$ функция, тогда число

\nabla_{\dot\gamma(0)}(f):= \dfrac{1}{||\dot\gamma(0)||}\langle \nabla f(\m{x}_0), \dot\gamma(0) \rangle

называется производной по направлению функции $f$ вдоль вектора $\dot \gamma(0)$ .

Более просто производную по направлению можно определить следующим образом

где справа стоит умножение матриц. А именно, так как

(\mathrm{d}f)_\m{p} = \begin{pmatrix} f'_{x_1}(\m{p}) & \ldots & f'_{x_n}(\m{p}) \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{1\times n}(\mathbb{R}),

то получаем

\boxed{ (\nabla_\m{v}f)(\m{p}) =\frac{1}{\|\m{v}\|} \left( f'_{x_1}(\m{p})v_1 + \cdots + f'_{x_n}(\m{p}) v_n\right). }

Рассмотрим теперь отображение $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ , которое задаётся следующим образом:

F: \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} f_1(x_1, \ldots, x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1, \ldots, x_n), \end{pmatrix}

где $f_i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . Потребуем, чтобы $F$ была дифференцируема в каком-то открытом $\mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n$ или в фиксированной точке $\m{x}_0$ .

Тогда

F(\m{x} + \m{h}) - F(\m{h}) = (\mathrm{d}_\m{x}F)(\m{h}) + o(||\m{h}||).

Пусть $\m{h} = h_i \m{e}_i$ , тогда $(\mathrm{d}_\m{x}F)(\m{e}_i)$ есть $i$ -ый столбец матрицы $(\mathrm{d}_\m{x}F)(\m{h})$ , и мы получаем равенство

\begin{pmatrix} f_1(x_1, \ldots, x_i + h_i, \ldots, x_n) -f_1(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1, \ldots, x_i + h_i, \ldots, x_n) -f_m(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \end{pmatrix} = h_i(\mathrm{d}_\m{x}F)(\m{e}_i) + o(|h_i|), \qquad 1 \le i \le n

тогда

(\m{d}F)_\m{x}(\m{e}_i) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_i} \\ \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_i} \end{pmatrix}

и в итоге

(\m{d}F)_\m{x} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}, \qquad (\m{d}F)_{\m{x}_0} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}({\m{x}_0}) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} ({\m{x}_0}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} ({\m{x}_0}) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} ({\m{x}_0}) \end{pmatrix}

Такая матрица называется Якобианом отображения $F.$

Анализ в ℝⁿ

Геометрический смысл дифференциала функции

Анализ в ℝⁿ

Функции, дифференцируемые на отрезке