Частные производные и явная формула для дифференциала

Рассмотрим теперь функцию $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, дифференцируемую на каком-то открытом $\mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n$ или в фиксированной точке $\m{x}$. Тогда её дифференциал $(\mathrm{d}f)_\m{x}$ в точке $\m{x}$ задаётся матрицей размера $n\times 1$, $(\mathrm{d}f)_\m{x} = \begin{pmatrix} a_1 & \ldots & a_n \end{pmatrix}$, где все $a_i$ есть функции от $\m{x}$. Наша цель — найти эти $a_i$. Пусть $\m{h} = (h_1, \ldots, h_n)^\top \in \mathbb{R}^n$, тогда получаем

Видно, что $a_i$ не зависит от координат вектора $\m{h}$ кроме $h_i$ т. е. чтобы найти $a_i$, нам достаточно рассмотреть вектор $\m{h}_i = h_i \m{e}_i$, где $\m{e}_i$ — базисный вектор. В таком случае, $||\m{h}_i|| = |h_i|$ и тогда для каждого $1 \le i \le n$ мы получаем

таким образом,

такое выражение называется частной производной функции по переменной $x_i$ и обозначается либо как $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, либо как $f'_{x_i}$, т. е.

если же мы хотим знать её значение в точке $\m{x}_0$, то получаем

Таким образом, в случае функции $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ дифференциал в точке $\m{x}_0$ находится по формуле

Тогда для любого вектора $\m{h} = (h_1,\ldots, h_n)^\top$,

где последняя скобка означает скалярное произведение.

Геометрический смысл частных производных¶

Итак, мы уже поняли, что если $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — дифференцируемая функция в точке $x_0$, то значение её производной в точке $x_0$ можно понимать как наклон касательной к графику этой функции в точке $(x_0, f(x_0))$. Пусть теперь $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ — функция от $n>1$ переменных, и пусть она дифференцируема в точке $\m{x}_0$. Тогда возникает вопрос, о чём говорят значения её частных производных в точке $\m{x}_0$?

Для наглядности мы ограничимся случаем, когда $n=2$, случай, когда $n >2$, совершенно аналогичен.

Итак, пусть у нас есть функция $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, которая дифференцируема в точке $(x_0,y_0)$. Рассечём её график плоскостью, параллельной плоскости $yz$, через точку $(x_0,y_0,0)$. Тогда мы получаем кривую, которая представляется какой-то функцией от $y$. Тогда, согласно определению частой производной, мы видим, что наклон к графику этой функции и есть значение $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$.

С другой стороны, мы можем пойти дальше и рассечь этот же график, но уже не параллельной ни плоскости $yz$, ни плоскости $xz$. Как тогда вычислить наклон?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы рассмотрим множество всех прямых, которые касаются графика в точке $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$. Такое множество мы называем касательной плоскостью к графику $z = f(x,y).$

Уравнение плоскости, которая проходит через точку $(0,0,0)$, имеет вид $z = Ax + By$. Тогда сдвинув эту плоскость к точке $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$, мы получим тогда такое уравнение плоскости: $z - f(x_0,y_0) = A(x-x_0) + B(y-y_0)$. Осталось найти коэффициенты $A,B$, чтобы эта плоскость стала касательной. Пересечём эту плоскость с плоскостью $y=y_0$, в результате мы получаем прямую $z(x, y_0) - f(x_0,y_0) = A(x-x_0)$, тогда потребовав, чтобы эта прямая была касательной, мы получаем, что $A = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$. Аналогично находим $B = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$.

Итак, уравнение плоскости имеет вид

Вернёмся ещё раз к предыдущему рисунку. Введём обозначения. Пусть $P$ — вертикальная плоскость, проходящая через точку $(x_0,y_0)$. Пусть $\ell$ — прямая, по которой $P$ пересекает плоскость $xy$. Касательную прямую к кривой, которую высекает плоскость $P$, мы обозначим через $L$. Касательная плоскость в точке $(x_0,y_0, f(x_0,y_0))$ пусть будет $T$. Далее, рассмотрим вектор $\m{v}$, который лежит на $\ell$, выходит из точки $(x_0,y_0)$ и кончается в $(x_0+a, y_0 +b)$, т. е. имеет координаты $(a,b)$.

Имеем

Тогда, чтобы вычислить наклон, нужно потребовать, чтобы один из катетов в прямоугольном треугольнике был равен 1, таким образом, если $a^2 + b^2 = 1$, то искомый наклон и есть число $\langle \m{v} , \nabla f (x_0, y_0) \rangle.$

Более просто производную по направлению можно определить следующим образом

где справа стоит умножение матриц. А именно, так как

то получаем

Рассмотрим теперь отображение $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, которое задаётся следующим образом:

где $f_i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Потребуем, чтобы $F$ была дифференцируема в каком-то открытом $\mathscr{U} \subseteq \mathbb{R}^n$ или в фиксированной точке $\m{x}_0$.

Тогда

Пусть $\m{h} = h_i \m{e}_i$, тогда $(\mathrm{d}_\m{x}F)(\m{e}_i)$ есть $i$-ый столбец матрицы $(\mathrm{d}_\m{x}F)(\m{h})$, и мы получаем равенство

тогда

и в итоге

Такая матрица называется Якобианом отображения $F.$