Компактность в ℝⁿ - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Лекция 4, 08.10.2024

Proof 4.1

(От противного) Рассмотрим замкнутый брус $I=[a_1,b_1]\times\ldots\times[a_n, b_n]$ .

Предположим, что $I$ не компакт, тогда $\exists$ его покрытие открытыми множествами $I\subset\{A_\alpha\}$ , не позволяющее выделить конечное подпокрытие.
Поделим каждую сторону бруса пополам. Хотя бы один из полученных брусов не допускает выделения конечного подпокрытия (иначе $I$ компакт). Обозначим его $I_1$ .
Повторим процесс деления ещё и ещё и получим систему вложенных брусков:

I_1\supset I_2\supset \ldots

Таким образом, по теореме о вложенных отрезках $\exists! \m{a}=(a_1,\ldots,a_n)\in\RR^n\colon a\in I_k$ при $k\to\infty$ (или $a\in\bigcap^\infty_{k=1} I_k$ ) 4. Таким образом, $\m{a} \in I\implies A_{\alpha_0}\colon \m{a}\subset A_{\alpha_0}\oplus A_{\alpha_0}$ — открытое $\implies\exists r>0\colon B_r(a)\subset A_{\alpha_0}$ . 5. Знаем, что $d(I_k)\to 0$ при $k\to\infty$ , т. е. $\exists N\colon\forall k>N,$

A_{\alpha_0} \supset B_r(\m{a})\supset I_{N+1}\supset I_{N+2}\supset\ldots

т. е. $\forall k>N, I_k$ покрываются одним лишь $A_{\alpha_0}$ из системы $\{A_\alpha\}$ , что предполагалось невозможным.

Proof 4.2

$(\Rightarrow)$ Необходимость.

Ограниченность
Пусть $\{B_n(0)\}^\infty_{n=1}\supset K$ — покрытие открытыми шарами. $K$ — компакт $\implies\exists N, B_N(0)\supset K$ , где $\{B_n(0)\}^N_{n=1}$ — конечное подпокрытие $\implies K$ — ограничено (по определению).
Замкнутость
От противного: Пусть $K$ — компакт, но не замкнуто, т. е. он не содержит ВСЕ предельные точки:
- $\exists x_0\not\in K\colon x_0$ — предельная для $K\colon\forall\varepsilon>0,\overset{\circ}B_\varepsilon(x_0)\cap K\neq\varnothing$ .
- Рассмотрим покрытие $\{B_{\frac{\delta(x)}{2}}(x)\}_{x\in K}$ , где $\delta(x)=||x-x_0||$
- Так как $K$ — компакт $\implies\exists x_i\in B, i\in\{1, m\}, K\subset \bigcup_{i=1}^m B_{\frac{\delta(x_i)}{2}}(x_i)$
- Пусть $\delta=\min_{i\in\{\overline{1, m}\}}\{\delta(x_i)\}$ , тогда $B_{\frac{\delta}{2}}(x_0)\cap\left(\bigcup^m_{i=1}B_{\frac{\delta(x_i)}{2}}(x_i)\right)=\varnothing\implies B_{\frac{\delta}{2}}(x_0)\cap K=\varnothing$ и тем более, $\overset{\circ}B_{\frac{\delta}{2}}(x_0)\cap K=\varnothing\implies x_0$ не является предельной точкой $K$ .

$(\Leftarrow)$ Достаточность.

$K$ — замкнуто и ограничено $\implies \exists r>0, B_r(0)\supset K\implies\exists$ замкнутый брус $I=[-r,r]^n\supset K$ .
Пусть $\{A_\alpha\}$ — покрытие открытыми множествами $K$ , тогда $\{A_\alpha\}\cup\underbrace{\{\RR^n\setminus K\}}_{\text{откр. т. к. K замкнуто}}$ — покрытие открытыми множествами $I$ , но $I$ — компакт $\implies \{A_{\alpha_i}\}^s_{i=1}\cup\{\RR^n\setminus K\}\supset I\supset K$ , т. к. $\{A_\alpha\}$ — произвольная $\implies K$ — компакт.

II курс

Топология в ℝⁿ

II курс

Теорема Вейерштрасса о непрерывности на компакте. Колебания функции