Теорема Вейерштрасса о непрерывности на компакте. Колебания функции - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Лекция 5, 15.10.2024

5.1Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте¶

Proof 5.1

$f$ — ограничена? Докажем от противного, т. е. предположим, что $f$ неограничена.

$K$ — компакт, $\exists\{x_m\}_{m=1}^\infty\subset K$ , что $|f(x_m)|>m$ . $\implies K$ ограничена $\implies\exists c,||x||\leq c,\implies\{x_m\}^\infty_{m=1}$ — ограничена $\implies\{x^i_m\}^\infty_{m=1}$ ограничена $\forall i=\overline{1,\ldots n}$ .

|x^i|\leq||x||=\sqrt{(x')^1+\ldots+(x^n)^2}\leq c

Получаем, что по теореме Больцано-Вейерштрасса (из $\forall$ ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность)

$\{x_m\}=\{(x_m^1,x_m^2,\ldots,x_m^n)\}\implies y\{x'_m\}_{m=1}^\infty\exists$ сходящаяся последовательность $\{x_{m_{j_1}}^1\}, x'_{m_{j_1}}\to a_1$ , $j_1\to\infty$ , $\{x_{m_{j_1}}\}=\{(\underset{\to a_1}{x^1_{m_{j_1}}},x^2_{m_{j_1}},...,x^n_{m_{j_1}})\}$ .

Выберем в ограниченной $\{x^1_{m_{j_1}}\}$ сходящуюся подпоследовательность $\{x_{m_{j_2}}^2\}$ . $x^2_{m_{j_2}}\to a_2$ . $\{x_{m_{j_2}}\}=\{(x_{m_{j_2}}^1,x_{m_{j_2}}^2,\ldots,x_{m_{j_2}}^n)\}$

$\{x_{m_{j_n}}\}^\infty_{j_n=1},x_{m_{j_n}}\to(a_1,\ldots, a_n)=a\implies x_{m_{j_n}}\to a$ , т. е. $a$ предел $K$ , но $K$ — компакт $\implies a\in K$

$\exists\lim_{j_n\to\infty}f(x_{m_{j_n}})=f(a)$ , по условию непрерывности функции $f$ на $K$ . С другой стороны, $f(x_{m_{j_n}})\to\infty$ при $j_n\to\infty$ .

$|f(x_{m_{j_n}})|>m_{j_n}\implies$ противоречие.

Теперь докажем достижимость $\sup$ .

Есть последовательность $\{y_m\}^\infty_{m=1}$ . $\sup_K f-\frac{1}{m}\leq f(y_m)\leq\sup_K f$ . По первому пункту можно выделить $y_{m_{j_n}}\to a$ .

\underset{j_n\to\infty}{\sup_K f-\frac{1}{m_{j_n}}}\leq f(y_{m_{j_n}})\leq\sup_K f

по непрерывности получаем

\sup_K f\leq f(a)\leq\sup_K f\implies f(a)=\sup_K f

Для $\inf$ доказывается аналогично.

5.2Расстояние¶

5.3Колебания функции¶

$M\subset\RR^n$ — множество.

Proof 5.2

$(\Rightarrow)$ Необходимость.

$f$ непрерывна в $x_0\in M\implies\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall x\in B^M_\delta(x_0)\cap M\implies|f(x)-f(x_0)|<\frac{\ve}{3}$

Рассмотрим

\omega(f,x_0)=\lim_{\delta\to0^+}\omega(f, B_\delta^M(x_0))

\begin{align*} \omega(f,B^M_\delta(x_0))&=\sup_{x,y\in B^M_\delta(x_0)}|f(x)-f(y)| \\&=\sup_{x,y\in B^M_\delta(x_0)}|f(x)-f(x_0)+f(x_0)-f(y)| \\&\leq 2\sup_{x\in B^M_\delta(x_0)}|f(x)-f(x_0)|\leq 2\ve<\ve \end{align*}

т. е. при $\ve\to0\implies\delta\to 0$

\omega(f, B^M_\delta(x_0))\to0\implies\omega(f, x_0)=0

$(\Leftarrow)$ Достаточность.

0=\omega(f,x_0):=\lim_{\delta\to0^+}\omega(f,B^M_\delta(x_0))

$\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall x,y\in B^M_\delta(x_0),$

\omega(f,B_\delta^M(x_0))=\sup_{x,y\in B^M_\delta(x_0)}|f(x)-f(y)|<\ve

тогда возьмём $y=x_0$

\begin{align*}|f(x)-f(x_0)|&\leq\sup_{x\in B^M_\delta(x_0)}|f(x)-f(x_0)|\\&\leq\sup_{x,y\in B^M_\delta(x_0)}|f(x)-f(y)|<\ve\end{align*}

Получаем, что $\forall\ve>0\exists\delta>0\colon\forall x\in B_\delta^M(x_0)\implies |f(x)-f(x_0)|<\ve \implies f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ .

Proof

Необходимость

Если $f$ интегрируема, то она ограничена по необходимому условию интегрируемости. Осталось показать, что множества разрыва меры нуль. От противного: пусть это не так.

Обозначим множество всех точек разрыва ф-ии $f$ на $I$ за $T$ и заметим, что $T = \displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{N}}T_k$ , где\ $T_k = \{x\in I | \omega(f, x) \ge \frac{1}{k}\}$ . Если $T$ не меры нуль, то существует $T_{k_0}$ не меры нуль (если они все меры нуль, то по свойству множеств меры нуль счетное объединение таких множеств тоже было бы меры нуль).

Для произвольного разбиения $\T = \{I_i\}_{i=1}^m$ бруска $I$ разобъем эти бруски на две кучи: первая $A = \{I_i | I_i\cap T_{k_0} \ne \varnothing, \omega(f, I_i) \ge \frac{1}{2k_0}\}$ и вторая $B = \T\backslash A$ . Покажем что $A$ является покрытием множества $T_{k_0}$ , т.е. $T_{k_0} \subset \displaystyle\bigcup_{i: I_i\in A} I_i$ любая точка $x\in T_{k_0}$ является либо

*[a)] внутренней для некоторого бруска $I_i$ . В этом случае $\omega(f, I_i) \ge \omega(f, x) \ge \frac{1}{k_0} > \frac{1}{2k_0}$ , т.е. $I_i \in A$ , либо *[b)] точка $x$ лежит на границе некоторого количества брусков (не более чем $2^n$ штук). Тогда хотя бы на одном из них колебание $\omega(f, I_i) \ge \frac{1}{2k_0}$ (т.е. $I_i \in A$ ): если бы такого не нашлось, то в любой малой окрестности $B_{\ve}(x)$ выполняется следующее:

\omega(f, x) \le \sup_{x', x''\in B_{\ve}(x)} |f(x')-f(x'')| \le \sup_{x'\in B_{\ve}(x)}|f(x')-f(x)| + \sup_{x''\in B_{\ve}(x)}|f(x)-f(x'')| < \frac{1}{2k_0} + \frac{1}{2k_0} = \frac{1}{k_0}

т.е. $x\not\in T_{k_0}$ —- противоречие.

Таким образом, каждая точка $x\in T_{k_0}$ покрывается некоторым бруском $I_i \in A$ , т.е. $A$ - покрытие $T_{k_0}$ . Тогда существует $c: \displaystyle\sum_{i:I_i\in A}|I_i| \ge c > 0$ для всех разбиений $\T$ (если бы меняя разбиения мы могли получить сумму объемов этих брусков сколь угодно маленькую, то получилось бы, что $T_{k_0}$ меры нуль)

Возьмем два набора отмеченных точек $\xi^1$ и $\xi^2$ . На брусках из кучки $B$ будем их брать одинаковыми, т.е. для $I_i\in B \,\, \xi_i^1 = \xi_i^2$ . А на брусках из кучки $A$ будем брать такие, чтобы

f(\xi_i^1) - f(\xi_i)^2 \ge \frac{1}{3k_0} \text{ (у нас там колебания} \ge 1/2k_0, \text{ так что такие найдутся)}

Получаем:

\begin{aligned} |\sigma(f, \T, \xi^1) - \sigma(f, \T, \xi^2) = \left|\sum_i(f(\xi_i^1) - f(\xi_i^2))|I_i|\right|\\ = \left|\sum_{i: I_i\in A}(f(\xi_i^1) - f(\xi_i^2))|I_i| + \sum_{i:I_i\in B}(f(\xi_i^1) - f(\xi_i^2))|I_i|\right|\\ = \left|\sum_{i: I_i\in A} (f(\xi_i^1) - f(\xi_i^2))|I_i|\right| \ge \frac{1}{3k_0} \sum_{i:I_i\in A}|I_i| \ge \frac{c}{3k_0} > 0 \end{aligned}

т.е. интегральные суммы не могут стремиться к одному и тому же числу, значит $f$ не интегрируема —- противоречие.

Достаточность

Для любого $\ve > 0$ рассмотрим $T_{\ve} = \{x\in I| \omega(f, x) \ge \ve\}$ . Покажем, что это множество - компакт. Ограниченность очевидна (подмножества бруска), а замкнутость проверим от противного. Пусть $a$ - предельная точка $T_{\ve}: \,\, a\not\in T_{\ve}$ . Т.к. она предельная, то существует $\{x^k\}: x^k \in B_{\frac{1}{k}}(a)$ . Т.к. $B_{\frac{1}{k}}$ - открытые шары, то наши точки лежат в них с окрестностями, т.е. сущесвтуют $\delta_k : B_{\delta_k}(x_K) \subset B_{\frac{1}{k}}(a)$ . Тогда

\omega(f, B_{\frac{1}{k}}(a)) \ge \omega(f, B_{\delta_k}(x_K)) \ge \omega(f, x_k) \ge \ve

Переходя к пределу $k\to\infty : \omega(f, a) \ge \ve$ , т.е. $a\in T_{\ve}$ - противоречие. Значит $T_{\ve}$ - замкнуто, и, следовательно, компактно.

Множество $T_{\ve}$ - множество меры нуль (как подмножество множества меры нуль). Значит, его можно покрыть не более чем счетным объединением открытых брусков $I_i: \displaystyle\sum_i|I_i| < \ve$ . Т.к. это открытое покрытие, а $T_{\ve}$ - компакт, то существует конечное подпокрытие: $T_{\ve} \subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^m I_i$ , при этом $\displaystyle\sum_{i=1}^m |I_i| < \ve$ .

Обозначим три множества: $C_1 = \displaystyle\bigcup_{i=1}^mI_i, \quad C_2 = \displaystyle\bigcup_{i=1}^mI_i', C_3 = \displaystyle\bigcup_{i=1}^mI_i''$ , где $I_i', I_i''$ - бруски, полученные гомотетией с центром в центре $I_i$ с коэффициентом 2 и 3 соответственно.

Заметим, что

*[a)] $|C_3| \le \displaystyle\sum_{i=1}^m|I_i''|| = 3^n \displaystyle\sum_{i=1}^m|I_i| < 3^n \ve$ *[b)] расстояние $\rho(\partial C_2, \partial C_3) = \delta_1 > 0$ (теорема про расстояние между компактами) *[c)] Множество $K = I\backslash(C_2\backslash \partial C_2)$ - компакт. Кстати, любое множество с диаметром меньше $\delta_1$ либо польностью лежит в $C_3$ , либо полностью в $K$ . *[d)] $T_{\ve} \cap K = \varnothing$ , т.к. $T_{\ve} \subset C_1 \subset C_2$ . Следовательно, $\forall x\in K \,\, \omega(f, x) < \ve$ . Тогда по теореме Кантора-Гейне $\exists \delta_2 > 0: \,\, \forall x\in K \,\, \omega(f, B_{\delta_2}(x)) < \ve + \ve = 2\ve$ \end{itemize}

Выберем $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ . Тогда для любых разбиений $\T_1 = \{I_k^1\}, \T_2 = \{I_i^2\}: \lambda{\T_1} < \delta, \lambda(\T_2) < \delta$

Рассмотрим пересечение этих разбиений $\T = \T_1 \cap \T_2$ , т.е. такое разбиение $\T = \{I_{ik}\}$ , что $I_k^1 = I_{i_1k} \bigsqcup\ldots\bigsqcup I_{i_mk}$ и $I_i^2 = I_{ik_1} \bigsqcup \ldots\bigsqcup I_{ik_l}$ . Очевидно $\lambda(\T) < \delta$ .

Для произвольных наборов отмеченных точек:

|\sigma(f, \T_1, \xi^1) - \sigma(f, \T_2, \xi^2)| \le |\sigma(f, \T_1, \xi^1) - \sigma(f, \T, \xi)| + |\sigma(f, \T_2, \xi^2) - \sigma(f, \T, \xi)|

Рассмотрим отдельное слагаемое:

\begin{aligned} |\sigma(f, \T_1, \xi^1) - \sigma(f, \T, \xi)| = \left|\sum_{i, j}(f(\xi_i^1) - f(\xi_{ij}))|I_{ij}\right|\ \le \sum_{I_{ij}\in C_3}|f(\xi_i^1) - f(\xi_{ij})||I_{ij}| + \sum_{I_{ij\in K}}|f(\xi_i^1)-f(\xi_{ij})||I_{ij}|\le 2M\cdot e^n\ve + 2\ve |I| = \epsilon(2M\cdot 3^n + 2|I|) \end{aligned}

т.к. $f$ ограничена некоторой константой $M$ и см пункты $a), d)$ , то

Т.к. для $(\T_2, \xi^2)$ все выкладки аналогичные, то получаем:

|\sigma(f, \T_1, \xi^1) - \sigma(f, \T, \xi)| \le \epsilon(2M\cdot 3^n + 2|I|)

Следовательно, существует предел $\displaystyle\lim_{\lambda(\T)\to0}\sigma(f, \T, \xi)$ (Критерий коши для функций) \end{itemize} \qed

II курс

Компактность в ℝⁿ

II курс

Верхняя и нижняя суммы Дарбу