Топология в ℝⁿ - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Лекция 3, 01.10.2024

$M\subset \R^n$

Proof

$(\Rightarrow)$ Необходимость (от противного)

Пусть $x_0$ — предел точки $M$ , но $x_0\not\in M$ , тогда $x_0\in \R^n$
По условию $M$ замкнуто, т. е. $\R^n\setminus M$ открыто, т. е. все его точки внутренние $\implies$ для $x_0$ из п. 1 $\exists r >0, B_r(x_0)\subset \R^n\setminus M$ и $\overset{\circ} B_r(x_0)\cap M=\varnothing$ , но т. к. $x_0$ предельная $\forall r >0, \overset{\circ}B_r(x_0)\cap M\neq\varnothing$
Получили противоречие $\implies M$ содержит все предельные точки.

$(\Leftarrow)$ Достаточность

$M$ содержит все свои предельные точки. $M$ — замкнуто?

Пусть $y_0$ не является предельной для $M$ , т. е. $y_0\in\RR^n\setminus M\implies$

\exists r>0, \quad\begin{cases} \overset{\circ}B_r(y_0)\cap M=\varnothing\\ y_0\in\RR^n\setminus M \end{cases}\implies B_r(y_0)\subset\RR^n\setminus M\implies

$\RR^n\setminus M$ — открытое и состоит из всех точек, не являющихся предельными $M\implies M$ замкнуто по определению.