Skip to article frontmatterSkip to article content

Непрерывность линейных отображений

Higher School of Economics

Напомним, что линейное отображение L:Rn→RmL: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m — это такое отображение, что

L(αv+βu)=αL(v)+βL(u), L(\alpha \m{v} + \beta \m{u}) = \alpha L(\m{v}) + \beta L(\m{u}),

для любых v,u∈Rn\m{v}, \m{u} \in \mathbb{R}^n, α,β∈R\alpha,\beta \in \mathbb{R}.

Заметим, что

L(0n)=0m, L(\m{0}_n) = \m{0}_m,

где 0k\m{0}_k — нулевой вектор векторного пространства Rk\mathbb{R}^k.

Proof

(1) ⟹\Longrightarrow (2). Это просто следует из того, что если LL непрерывно, то оно непрерывно во всех точках R\mathbb{R}, в частности и в нуле тоже.

(2) ⟹\Longrightarrow (3). Если LL непрерывно в нуле, то это значит, что для любого ε>0\varepsilon >0 можно всегда найти такое δ>0\delta>0, что из ∣∣h∣∣<δ||\m{h}|| <\delta будет следовать ∣∣L(h)∣∣<ε||L(\m{h})|| <\varepsilon. Пусть ε=1\varepsilon = 1, тогда мы всегда найдём такой δ>0\delta>0, что если ∣∣h∣∣<δ|| \m{h} || < \delta, то ∣∣L(h)∣∣<1|| L(\m{h})|| < 1. Зафиксируем такое δ.\delta.

Возьмём теперь произвольный ненулевой вектор[^ref231] v\m{v}, тогда имеем

∣∣L(v)∣∣=∥2δ∣∣v∣∣L(δv2∣∣v∣∣)∥=2δ∣∣v∣∣⋅∥L(δv2∣∣v∣∣)∥<2δ∣∣v∣∣\begin{align*} || L(\m{v}) || &=& \left\| \frac{2}{\delta} || \m{v} || L\left( \frac{\delta \m{v}}{2 || \m{v} ||}\right) \right\| \\ &=& \frac{2}{\delta} || \m{v}|| \cdot \left\| L\left( \frac{\delta \m{v}}{2 || \m{v} ||}\right) \right\| < \frac{2}{\delta} || \m{v}|| \end{align*}

потому что

∥δv2∣∣v∣∣∥=δ2<δ, \left\|\frac{\delta \m{v}}{2 || \m{v} ||} \right\| = \frac{\delta}{2} < \delta,

и так как δ фиксировано, мы получаем требуемое.

(3) ⟹\Longrightarrow (1). Имеем

∣∣L(v)−L(u)∣∣=∣∣L(v−u)∣∣≤K∣∣u−v∣∣, || L(\m{v}) - L(\m{u}) || = || L(\m{v} - \m{u}) || \le K || \m{u} - \m{v} ||,

тогда если ∣∣u−v∣∣<δ||\m{u} - \m{v}|| < \delta, то ∣∣L(v)−L(u)∣∣<Kδ|| L(\m{v}) - L(\m{u}) ||< K \delta, поэтому для любого ε>0\varepsilon >0, если мы положим, что 0<δ<εK0<\delta < \frac{\varepsilon}{K}, то мы и получаем непрерывность LL.

Proof

Пусть LL задаётся матрицей (ai,j)1≤i≤n,1≤j≤m(a_{i,j})_{1\le i \le n, 1 \le j \le m}, тогда

L(v)=(a11…a1n⋮⋱⋮am1…amn)(v1⋮vn)=(a11v1+⋯+a1nvn⋮am1v1+⋯+amnvn)=(u1,…,um)⊤=:u∈Rm,L(\m{v}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}v_1 + \cdots + a_{1n}v_n \\ \vdots \\ a_{m1}v_1 + \cdots + a_{mn}v_n \end{pmatrix} = (u_1, \ldots, u_m)^\top =:\m{u} \in \mathbb{R}^m,

тогда

∣∣L(v)∣∣=∣∣u∣∣=(a11v1+⋯+a1nvn)2+⋯+(am1v1+⋯+amnvn)2≤mmax⁡1≤k≤m∣ak1v1+⋯+aknvn∣≤mmax⁡1≤k≤m(∣ak1∣⋅∣v1∣+⋯+∣akn∣⋅∣vn∣)≤mmax⁡1≤k≤m(∣ak1∣⋅∣∣v∣∣+⋯+∣akn∣⋅∣∣v∣∣)=mmax⁡1≤k≤m(∣ak1∣+⋯+∣akn∣)⋅∣∣v∣∣=K∣∣v∣∣,\begin{align*} ||L(\m{v})|| &=& ||\m{u}|| \\ &=& \sqrt{(a_{11}v_1 + \cdots + a_{1n}v_n)^2 + \cdots + (a_{m1}v_1 + \cdots + a_{mn}v_n)^2} \\ &\le & \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m} \left| a_{k1}v_1 + \cdots + a_{kn}v_n \right| \\ &\le & \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m} \left( |a_{k1}| \cdot |v_1| + \cdots + |a_{kn}| \cdot |v_n| \right) \\ &\le & \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m} \left(|a_{k1}| \cdot || \m{v}|| + \cdots + |a_{kn}| \cdot || \m{v}|| \right) \\ &=& \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m}\left(|a_{k1}| + \cdots + |a_{kn}| \right) \cdot || \m{v}|| \\ &=& K || \m{v}||, \end{align*}

где K:=mmax⁡1≤k≤m(∣ak1∣+⋯+∣akn∣)K: = \sqrt{ m } \max_{1 \le k \le m}\left(|a_{k1}| + \cdots + |a_{kn}| \right), тогда по Предложению Proposition 1 оно непрерывно.

Анализ в ℝⁿ
Необходимые и достаточные условия дифференцируемости
Анализ в ℝⁿ
Дифференциал композиции