Дифференциал композиции

Так как отображения дифференцируемо, мы имеем

и

где $\lim_{\m{h} \to \m{0}_n} \alpha (\m{h}) = \m{0}_k$, $\lim_{\m{v} \to \m{0}_k} \beta (\m{v}) = \m{0}_m$.

Мы можем положить $\beta(\m{0}_k) = \m{0}_m$ или доопределить её таким образом, видно, что на равенства это не повлияет. Тем самым, β может считаться непрерывной в $\m{0}_k$.

Пусть $\m{v}: = F(\m{a} + \m{h}) - F(\m{a})$, тогда $G(F(\m{a}) + \m{v})) - G(F(\m{a}) = G(F(\m{a}+\m{h})) -G(F(\m{a}))$.

Имеем

из-за линейности $(\mathrm{d}G)_{F(\m{a})}$ получаем

вынесем теперь $|| \m{h}||$, получаем

Так как $(\mathrm{d}F)_\m{a}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ линейно, то по Лемме Lemma 1 и Предложению Proposition 1 оно ограничено, то есть $|| (\mathrm{d}F)_\m{a})(\m{h}) || \le K ||\m{h}||$. Далее, так как $(\mathrm{d}G)_{F(\m{a})}: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^m$ линейно, то по Лемме Lemma 1 оно непрерывно, и так как мы положили, что β непрерывна в $\m{0}_k$, тогда

Далее,

так как $\lim_{\m{h} \to \m{0}_n}\alpha(\m{h}) = \m{0}_k$, то согласно Предложению Proposition 2, Теореме Theorem 5:

Итак, пусть

тогда мы показали, что

Окончательно мы получили, что

что и доказывает утверждение.