Дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Лекция 10, 26.11.2024

Proof 10.1

От противного.

Пусть $f_n\overset{(a,b)}{\rightrightarrows} f$ , тогда по Критерию Коши $\forall\ve>0,\exists N\colon,\forall n,m>N,\forall x\in(a,b)\hookrightarrow|f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\ve}{3}$
$f_n\in C[a, b)$ , тогда $\forall x_0\in[a, b),\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall x\in B_\delta(x_0)\cap[a, b)\hookrightarrow |f_n(x)-f_n(x)|<\frac{\ve}{3}$
В частности верно для $x_0=a$
$\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall x\in\overset{\circ}B_\delta(a)\cap(a, b)\hookrightarrow |f_n(x)-f_n(a)|<\frac{\ve}{3}$

Рассмотрим теперь:

|f_n(a)-f_m(a)|\leq\overset{\text{по п. 2}}{|f_n(a)-f_n(x)|}+\overset{\text{по п. 1}}{|f_n(x)-f_m(x)|}+\overset{\text{по п. 2}}{|f_m(x)-f_m(a)|}<\frac{\ve}{3}

Получаем: $\forall\ve>0,\exists N (\exists\delta>0)\colon\forall n,m>N, (\forall x\in\overset{\circ}\delta(a)\cap(a,b))\hookrightarrow|f_n(a)-f_m(a)|<\ve$

т. е. $\exists\lim_{n\to\infty}f_n(a)$ по Критерию Коши для числовых последовательностей, что противоречит условию $\implies$ предположение было неверным и

f_n\not\overset{(a,b)}{\rightrightarrows}f

Proof 10.2

По Критерию Дарбу: $f\in\mathcal{R}[a, b]\iff f$ — ограничена на $[a, b]$ и $\Il=\Iu$

(Ограниченность)
- $\forall n\in\NN\colon f_n\in\mathcal{R}[a, b]\implies f_n$ — ограничена на $[a, b]$ , т. е.
$\forall n\in\NN,\exists M_n\geq 0,\forall x\in[a, b]\hookrightarrow |f_n(x)|\leq M_n$
- $f_n\overset{[a,b]}\rightrightarrows f$ , значит $\forall\ve>0,\exists N\colon\forall n> N,\forall x\in[a, b]\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\ve$
Нас более всего интересуют случаи $\ve\ll 1$
Рассмотрим $\ve=1$ , тогда $\exists N_1=N(1)\colon\forall x\in [a,b]\hookrightarrow|f_n{N_1+1}(x)-f(x)|<1$ .
Тогда для $f(x)$ верно:
$\forall x\in[a, b], |f(x)|\leq|f(x)-f_{N_1+1}(x)|+|f_{N_1+1}(x)|<1+M_{N_1+1}$
т. е. $\forall x\in[a, b], f(x)$ — ограничена
(Интегрируемость)
$\Il=\lim_{\Delta_\TT\to0}\Sl(f,\TT),\quad\Iu=\lim_{\Delta_\TT\to0}\Su(f,\TT)$
$f\in\mathcal{R}[a, b]$ , если $\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall\TT\colon\delta_\TT<\delta\hookrightarrow|\Sl(f,\TT)-\Su(f,\TT)|<\ve$
Рассмотрим $\TT$ — разбиение $[a, b]$
$|\Sl(f,\TT)-\Su(f,\TT)|\leq\underbrace{|\Sl(f,\TT)-\Sl(f_n,\TT)|}_{(1)}+\underbrace{|\Sl(f_n,\TT)-\Su(f_n,\TT)|}_{(2)}+\underbrace{|\Su(f_n,\TT)-\Su(f,\TT)|}_{(3)}$
$(1)\colon|\Sl(f,\TT)-\Sl(f_n,\TT)|\leq\sum_i|\inf_{I_i}(f)-\inf_{I_i}(f_n)||I_i|\leq\sum_i\sup_{I_i}|f-f_n||I_i|\leq\sup_{[a,b]}|f-f_n|=|b-a|\leq\frac{\ve}{3}$
Но знаем, что $f_n\overset{[a,b]}\rightrightarrows f\implies$ по lim-sup критерию $\forall\ve>0,\exists N,\forall n> N\hookrightarrow\sup_{[a,b]}|f-f_n|<\frac{\ve}{3|b-a|}$
для $(3)$ аналогично: $|\Su(f_n,\TT)-\Su(f,\TT)|\leq\sup_{[a,b]}|f-f_n|\cdot|b-a|\leq\frac{\ve}{3}$
$(2)\colon f_n\in\mathcal{R}[a,b]\implies\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall\TT,\Delta_\TT<\delta,|\Sl(f_n,\TT)-\Su(f_n,\TT)|<\frac{\ve}{3}$
Собираем воедино:
$\forall\ve>0,\exists\delta>0(\exists N),\forall\TT\colon\Delta_\TT<\delta(\forall n>N)\hookrightarrow|\Sl(f,\TT)-\Su(f,\TT)|<\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve\implies f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$
Покажем теперь, что
$\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^af_n(x)\d x=\int\limits_a^bf(x)\d x$
Рассмотрим:
$\left|\int\limits_a^bf_n(x)\d x-\int\limits_a^bf(x)\d x\right|\leq\int\limits_a^b|f_n(x)-f(x)|\d x\leq\sup_{[a,b]}|f_n(x)-f(x)|\cdot|b-a|<\ve$
$f_n(x)\overset{[a, b]}\rightrightarrows f(x)\implies\forall\ve>0,\exists N,\forall n>N, |f_n(x)-f(x)|<\frac{\ve}{|b-a|}$
получаем, что $\forall \ve>0,\exists N,\forall n>N\hookrightarrow\left|\int\limits_a^bf_n(x)\d x-\int\limits_a^bf(x)\d x\right|<\ve$

Theorem 10.3 (О почленном дифференцировании функциональных последовательностей)

\left.\begin{align*} &f_n,f,g\colon[a,b]\to\RR\\ &f_n\in\mathcal{D}[a,b]\\ &\exists c\in[a,b]\colon\exists\lim_{n\to\infty}f_n(c)\\ &\exists g(x)\colon f_n'(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows g(x) \end{align*}\right\}\implies\begin{align*} &\exists f\colon f_n\overset{[a,b]}\rightrightarrows f\\ &\oplus f'(x)=g(x) \end{align*}

Proof 10.3

Существование $f\colon f_n\overset{[a,b]}\rightrightarrows f$
- Рассмотрим $\varphi(x)=f_n(x)-f_m(x)$
- $\forall n\in\NN, f_n\in\mathcal{D}[a,b]\implies f_n\in C[a,b]$ (если $f$ определена в окрестности $a$ и дифференцируема в $a$ , то $f$ непрерывна в $a$ ) $\implies \varphi(x)\in\mathcal{D}[a,b]$ и $\varphi(x)\in C[a, b]$
- Рассмотрим для $c$ из условия теоремы Лагранжа
Theorem 10.4 (Лагранжа)
$f\in \mathcal{C}[a,b], f\in\mathcal{D}(a, b)\implies\exists c\in(a,b), f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
$\boxed{\varphi(x)-\varphi(c)=\varphi'(\xi)\cdot(x-c)}$
где $\xi\in[c, x] \ ([x, c])$
Откуда $\varphi(x)=\varphi'(\xi)(c-x)+\varphi(c)$
- Учитывая
  $(*)\ f_n'(x)\overset{[a,b]}{\rightrightarrows} g(x)\implies\forall\ve>0,\exists N_1,\forall n, m> N_1\forall x\in[a, b]\hookrightarrow|f_n'(\xi)-f'_m(\xi)|<\frac{\ve}{2|b-a|}$
  $(**) \ \exists\lim_{n\to\infty}f_n(c)\implies\forall\ve>0,\exists N_2,\forall n,m>N_2\hookrightarrow|f_n(c)-f_m(c)|<\frac{ve}{2}$
  Оценим $|\varphi(x)|\leq|\varphi'(\xi)|\cdot|c-x|+|\varphi(c)|=|f_n'(\xi)-f_m'(\xi)|\cdot|c-x|+|f_n(c)-f_m(c)|<\frac{\ve}{2|b-a|}\cdot|c-x|+\frac{\ve}{2}<\ve$
  т. е. $\forall\ve >0,\exists N=\max\{N_1,N_2\}\colon\forall n,m>N,\forall x\in[a, b]\hookrightarrow |\varphi(x)|=|f_n(x)-f_m(x)|<\ve\implies\exists f\colon f_n\overset{[a,b]}\rightrightarrows f$
Докажем, что $f'(x)=g(x)$ .
Пусть есть фиксированный $x_0\in[a,b]$ , но он произвольный
- Рассмотрим $\psi_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}$
  Покажем по Критерию Коши, что $\psi_n(x)\overset{[a,b]}{\rightrightarrows} |\psi_n(x)-\psi_m(x)|=\left|\frac{f_n(x)-f_n(x_0)-f_m(x)+f_m(x_0)}{x-x_0}\right|=\left|\frac{(f_n(x)-f_m(x))-(f_n(x_0)-f_m(x_0))}{x-x_0}\right|=\left|\frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{x-x_0}\right|=$ по Лагранжу $\exists\xi\in[x_0, x]=\frac{|\varphi'(\xi)||x-x_0|}{|x-x_0|}=|\varphi'(\xi)|=|f_n'(\xi)-f'_m(\xi)|<\ve$
  так как $f_n'\overset{[a,b]}\rightrightarrows$ , т. е. $\forall\ve>0,\exists N,\forall n,m>N,\forall x\in[a,b]\hookrightarrow|f_n'(x)-f'_m(x)|<\ve$ . Таким образом, $\psi_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows$
- $\forall n\in\NN,\exists\lim_{x\to x_0}\psi_n(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}=f_n'(x_0)$ , так как $f_n\in\mathcal{D}[a,b]$
  Получаем $\psi_n(x)\overset{[a, b]}\rightrightarrows$ и $\forall n\in\mathbb{N},\exists\lim_{x\to x_0}\psi_n(x)=f'_n(x_0)\implies$ по теореме о почленном переходе к пределу
  $\begin{align*}g(x_0)&=\lim_{n\to\infty}f'_n(x_0)=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}\psi_n(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\right)\\&=\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\right)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\end{align*}$

II курс

Сходимость функциональных последовательностей

Архив

Коллоквиум III