Коллоквиум III

1Вопросы по 0.5 балла каждый¶

1. Что такое высшие дифференциалы отображения $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m?$
2. Пусть дана $m$-раз дифференцируемая функция $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, то как как выглядит общая формула для дифференциала $(\mathrm{d}^kf)?$
3. Что такое полином Тейлора для функции $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}?$
4. Что такое компактное пространство?
5. Что такое аксиома Лебега—Бореля?
6. Что такое аксиома отделимости Хаусдорфа?
7. Верно ли что метрические пространства удовлетворяют аксиоме Хаусдорфа?
8. Что такое полином Тейлора в матричной форме? Что такое Гессиан?
9. Что такое локальный экстремум функции $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}?$
10. Сформулируйте теорему об обратной фукнции (отображении).
11. Сформулируйте теорему о неявной фукнции (отображении).
12. Что такое условный экстремум фукнции $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}?$
13. Что такое числовой ряд?
14. Что такое сходящийся ряд?
15. Что значит почти похожие ряды?
16. Что такое положительный ряд?

2Теоремы и тому подобное по 2.5 балла каждое¶

1. Если функция $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ в окрестности точки $\m{a}$ $m$ раз дифференцируема, то для каждого $1 \le k \le m$

   $$(\mathrm{d}^kf)_\m{a}(\m{h})= \left.\left(\frac{\partial}{\partial x_1} h_1 + \cdots + \frac{\partial }{\partial x_n}h_n \right)^k\right|_{\m{a}} \cdot f$$

   Докажите и объясните эту формулу.

2. Пусть $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ дифференцируема в окрестности точки $\mathscr{U}$ точки $\m{a}$, и пусть при $0\le t \le 1$, точка $\m{a}+t\m{h}\in \mathscr{U}$. Тогда, при фиксированных $\m{a}, \m{h}$, функция $\psi_{\m{a},\m{h}}(t):= f(\m{a}+t\m{h}):\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ дифференцируема при $0 \le t \le 1$ и

   $$\psi_{\m{a},\m{h}}'(t) = \left.\frac{\partial f}{ \partial x_1}\right|_{\m{a} + t \m{h}} \cdot h_1 + \cdots + \left.\frac{\partial f}{ \partial x_n}\right|_{\m{a} + t \m{h}} \cdot h_n$$

   Докажите.

3. Пусть $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ есть $m+1$ раз дифференцируемая функция в окрестности точки $\m{a} \in \mathbb{R}^n$, то для всех $\m{h}$ из окрестности точки $\m{0}_n$ верно

   $$f(\m{a} + \m{h}) = f(\m{a}) + (\mathrm{d}f)_\m{a} \m{h} + \frac{1}{2!} (\mathrm{d}^2f)_\m{a}\m{h} + \cdots + \frac{1}{m!} (\m{d}^mf)_\m{a}\m{h} + \frac{1}{(m+1)!} (\m{d}^{m+1}f)_{\m{a}+ \theta \m{h}}\m{h},$$

   где $0 < \theta < 1$ и она зависит от $\m{a}, \m{h}$ и $m$. Докажите.

4. Докажите, что подпространство $K$ в метрическом пространстве $(E,d)$ — компакт тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в $E$, можно выделить конечное подпокрытие этими же множествами.

5. Докажите, что любое метрическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа; для любых двух различных точек найдутся их непересекающиеся окрестности.

6. Докажите, что в любом метрическом пространстве $(E,d)$ точка — замкнутое множество.

7. Докажите, что в метрическом пространстве $(E,d)$ любой компакт обладает следующими свойствами:

   • Компакт — ограниченное множество, т.е., найдётся такой шар $B(a,r) \subseteq E$, что $K \subseteq B(a,r)$.
   • Компакт — замкнутое множество, т.е., он содержит все свои точки прикосновения ($\overline{K} = K$).
   • Замкнутое подмножество компакта самое является компактом.

8. Докажите, что если $f:E\to E'$ — непрерывное отображение между метрическими пространствами, тогда если $X$ — компактно, то $f(X)$ — компактно.

9. Докажите, что параллелепипед $\mathcal{P}$ — компакт в $\mathbb{R}^n$, где рассматривается евклидова метрика.

10. Докажите критерий компактности в $\mathbb{R}^n$; множество $K \subseteq \mathbb{R}^n$ компактно тогда и только тогда когда оно замкнуто и ограничено.

11. Докажите, что на компактном множестве всякая непрерывная функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений.

12. Пусть $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ есть $m$ раз дифференцируема функция в окрестности точки $\m{a}$ и все её частные производные непрерывны в этой точке, тогда

    $$f(\m{a} + \m{h}) = f(\m{a}) + (\mathrm{d}f)_\m{a} \m{h} + \frac{1}{2!} (\mathrm{d}^2f)_\m{a}\m{h} + \cdots + \frac{1}{m!} (\m{d}^mf)_\m{a}\m{h} + o(\| \m{h} \|^m), \qquad \m{h} \to \m{0}_n.$$

    Докажите.

13. Если функция $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ — дважды дифференцируема в точке $\m{a}$, то

    $$f(\m{a} + \m{h}) =f(\m{a}) + \nabla_\m{a}(f)(\m{h}) + \frac{1}{2} \m{h}^\top \m{H}_\m{a}(f) \m{h} + o(\|\m{h}\|^2), \qquad \m{h} \to \m{0}_n.$$

    Докажите.

14. Докажите необходимое условие экстремума; если $\m{a} = (a_1,\ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n$ — точка экстремума функции $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, тогда, если все частные производные $f'_{x_i}$, $1\le i \le n$ существуют в какой-то окрестности $\mathscr{U}(\m{a})$ точки $\m{a}$, то $(\mathrm{d}f)_\m{a}(\m{h}) = 0$ для любого $\m{h} \in \mathscr{U}(\m{a}),$ или

    $$\left.\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|_\m{a} = \ldots = \left.\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|_\m{a} = 0.$$

15. Докажите необходимое условие условного экстремума; пусть $f, \varphi_1,\ldots, \varphi_m: \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}$ являются непрерывно дифференцируемыми фукнциями в окрестности $\mathscr{W}$ точки $\m{a}$ и пусть

    $$\mathrm{rk} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial \varphi_1}{\partial x_1} (\m{x}) & \ldots & \dfrac{\partial \varphi_1}{\partial x_{n+m}} (\m{x}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial \varphi_m}{\partial x_1} (\m{x}) & \ldots & \dfrac{\partial \varphi_m}{\partial x_{n+m}} (\m{x}) \end{pmatrix} = m$$

    для всех $\m{x}\in \mathscr{W}$. Тогда, если $\m{a}$ — точка условного экстремума функции $f$ на множестве

    $$\Omega: = \{\m{x} \in \mathbb{R}^{n+m}\,:\, \varphi_1(\m{x}) =0, \ldots, \varphi_m(\m{x}) = 0\}$$

    то найдутся такие числа $\lambda_1,\ldots, \lambda_m \in \mathbb{R}$, что

    $$\nabla_\m{a} f = \lambda_1 \nabla_\m{a} \varphi_1 + \cdots + \lambda_m \nabla_\m{a} \varphi_m.$$

16. Докажите критерий сходимости Коши для рядов и выведете необходимый признак сходимости ряда. Этот признак достаточен? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что если ряды $(x_n)$ и $(x_n')$ сходятся и имеют суммы $s$ и $s'$, соотвественно, то ряд $(x_n+x_n')$ сходится к сумме $s+s'$, а ряд $(\lambda x_n)$ для любого $\lambda \in \mathbb{R}$ — к сумме $\lambda s.$

18. Докажите, что если $(x_n)$ и $(x_n')$ почти похожие ряды, то оба они сходятся или расходятся.

19. Докажите критерий сходимости положительного ряда.

20. Пусть $(x_n)$, $(x_n')$ — два положительных ряда, при этом $x_n \le x_n'$ почти для всех $n$. Если ряд $(x_n')$ сходится, то сходится и ряд $(x_n)$. Если же ряд $(x_n)$ расходится, то расходится и ряд $(x_n').$ Докажите.