Сходимость функциональных последовательностей - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Proof

$(\Rightarrow)$ Необходимость

f_n\overset{D}\rightrightarrows f,\forall\ve>0,\exists N\colon\forall n>N,\forall x\in D,\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\frac{\ve}{2}

тогда рассмотрим $|f_n(x)-f_m(x)|\leq|f_n(x)-f(x)|+|f_m-f(x)|<\ve$ .

$(\Leftarrow)$ Достаточность

Пусть верно, что $\forall\ve>0,\exists N,\forall n,m>N,\forall x\in D\hookrightarrow |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\ve}{2}$

При фиксированных $x_0\in D$ это значит, что $\exists\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)=f(x_0)$ , то есть $\forall$ фиксированного $x_0\in D, |f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\frac{\ve}{2}\implies$ в худшем случае $|f_n(x_0)-f(x_0)\leq\frac{\ve}{2}$

сделаем этот предельный переход в исходном при $m\to\infty,\forall x\in D$ , получаем $\forall\ve>0,\exists N,\forall n >N,\forall x\in D\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|\leq\frac{\ve}{2}<\ve$ .

Theorem 9.2 (О почленном переходе к пределу)

\left.\begin{align*} &f_n,f\colon D\to\RR\\ &x_0 \text{ — предел } D\\ &f_n\overset{D}\rightrightarrows f\\ &\forall n\in N,\exists\lim_{x\to x_0}f_n(x)=c_n \end{align*}\right\}\implies\begin{align*} &\exists\lim_{n\to\infty}c_n=\lim_{x\to x_0} f(x)\\ &\left(\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{x\to x_0} f_n(x)\right)=\lim_{x\to x_0}\left(\lim_{n\to\infty} f_n(x)\right)\right) \end{align*}

Proof 9.1

I. Покажем, что $\exists c=\lim_{n\to\infty} c_n$ . Рассмотрим

|c_n-c_m|\leq\underset{(1)}{|c_n-f_n(x)}|+\underset{(2)}{|f_n(x)-f_m(x)|}+\underset{(3)}{|f_m(x)-c_m|}\leq\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve

$(1)$ и $(3)$ : из условия $\forall n\in\NN,\exists\lim_{x\to x_0}f_n(x)=c_n$ получаем

\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall x\in\overset{\circ}B_\delta(x_0)\cap D\hookrightarrow |f_n(x)-c_n|<\frac{\ve}{3}

$(2)$ из условия $f_n\overset{D}\rightrightarrows f$ по Критерию Коши верно, что

\forall\ve>0,\exists N\colon\forall n,m>N,\forall x\in D\hookrightarrow |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\ve}{3}

а значит и $\forall x\in \overset{\circ}B_\delta(x_0)\cap D$

Получаем, что по Критерию Коши для числовых последовательностей

\forall\ve>0,\exists N,\forall n,m>N\hookrightarrow |c_n-c_m|<\ve\implies\exists\lim_{n\to\infty}c_n=c

II. Покажем теперь, что $\exists\lim_{x\to x_0}f(x)=c$

Рассмотрим

|f(x)-c|\leq\underbrace{|f(x)-f_n(x)|}_{(1)}+\underbrace{|f_n(x)-c_n|}_{(2)}+\underbrace{|c_n-c|}_{(3)}<\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve

$(1)$ : условие $f_n\overset{D}\rightrightarrows\implies\forall\ve>0,\exists N_1\colon\forall n>N,\forall x\in D\hookrightarrow |f(x)-f_n(x)|<\frac{\ve}{3}$ тем более верно для $\forall x\in \overset{\circ}B_\delta(x_0)\cap D$
$(2)$ : из условия $\forall n\in\NN,\exists\lim_{x\to x_0}f_n(x)=c_n\implies\forall\ve >0,\exists\delta>0,\forall x\in \circ{B_\delta}(x_0)\cap D\hookrightarrow |f_n(x)-c_n|<\frac{\ve}{3}$
$(3)$ : из пункта I $\implies\forall\ve>0,\exists N_2\colon\forall n> N_2\hookrightarrow |c_n-c|<\frac{\ve}{3}$

Получаем, что $\forall\ve>0,\exists N=\max\{N_1,N_2\},\exists\delta>0,\forall x\in\overset{\circ}B_\delta(x_0)\cap D\hookrightarrow|f(x)-c|<\ve\implies\exists\lim_{x\to x_0}f(x)=c$

Proof 9.2

Что значит, что $f\in C(D)$ ?

Нужно доказать, что $\forall x_0\in D,\forall \ve>0,\exists\delta>0,\forall x\in B_\delta(x_0)\cap D\hookrightarrow|f(x)-f(x_0)<\ve$

Тогда рассмотрим

\begin{align*}|f(x)-f(x_0)|&\leq\underbrace{|f(x)-f_n(x)|}_{(1)}+\underbrace{|f_n(x)-f_n(x_0)|}_{(2)}+\underbrace{|f_n(x_0)-f(x_0)|}_{(3)}\\&<\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve\end{align*}

$(1)$ : из условия $f_n\overset{D}\rightrightarrows f\implies\forall\ve>0,\exists N\colon \forall n>N,\forall \underbrace{x\in D}_{(\forall x\in B_\delta(x_0)\cap D)}\hookrightarrow |f(x)-f_n(x)|<\frac{\ve}{3}$
$(2)$ : из условия $\forall n\in\NN, f_n\in C(D)\implies\forall x_0\in D,\forall\ve>0,\exists\delta>0, \forall x\in B_\delta(x_0)\cap D\hookrightarrow |f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac{\ve}{3}$
$(3)$ : из условия $f_n\overset{D}\rightrightarrows f\implies\underbrace{\forall\ve>0,\exists N,\forall n>N,\forall x_0\in D}_{\text{поточечная сходимость}}\hookrightarrow|f_n(x_0)-f(x_0)|\leq\frac{\ve}{3}$

Получаем, что

\forall x\in D,\forall\ve>0,(\exists N,\forall n>N),\exists\delta>0,\forall x\in B_\delta(x_0)\cap D\hookrightarrow\\ |f(x)-f(x_0)|<\ve\implies f(x)\in C(D)

Proof 9.3

От противного:

Пусть $f_n\overset{(a,b)}\rightrightarrows f$ , тогда

\forall\ve>0,\exists N_1\colon\forall n>N,\forall x\in(a,b)\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\ve

Знаем, что $f_n\xrightarrow{[a,b)}f$ , т. е. для $a\in[a, b)$ верно $f_n(a)\xrightarrow[n\to\infty]{} f(a)$ :

\forall\ve>0,\exists N_2,\forall n>N_2\hookrightarrow|f_n(a)-f(a)|<\ve

Из п. 1 и 2 получаем

\forall\ve>0,\exists N=\max\{N_1,N_2\},\forall n>N,\forall x\in[a, b)\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\ve

т. е.

\boxed{f_n(x)\overset{[a, b)}\rightrightarrows f(x)}

В итоге имеем:

\begin{align*} f_n\in C([a, b))\\ f_n\overset{[a, b)}\rightrightarrows f \end{align*}\implies

но по Теореме о непрерывности предельной фукнции: $f(x)\in c([a, b))$ , но известно, что $f(x)$ имеет разрыв в точке $a\implies X$ и предположительно неверно, т. е. $f_n\overset{(a, b)}{\not\rightrightarrows} f$ .

Example 9.2

Вспомним пример.

$f_n(x)=x^k$ на

\begin{align*} D_1=[0, q],\quad 0<q<1\\ D_2=[0, 1)\\ D_3=[0, 1] \end{align*}

Исследуем на равномерную сходимость

$D_1$ : Знаем, что $f_n(x)\xrightarrow{D_1}0$

\sup_{D_1}|f_n(x)-0|=\sup_{D_1}|x^k|=q^n\xrightarrow{n\to\infty}0\implies f_n\overset{D_1}\rightrightarrows f

$D_2$ : $f_n(x)\xrightarrow{D_2} 0$

\sup_{D_2}|x^n|=1\xrightarrow[n\to\infty]{}1\neq 0\implies f_n\overset{D_2}{\not\rightrightarrows} f

$D_3$ :
$f_n(x)\xrightarrow{D_3}\left[\begin{align*} &0, \quad 0 < x < 1\\ &1, \quad x = 1 \end{align*}\right.$

\sup_{D_3}|x^m-f(x)|=1\implies f_n\overset{D_3}{\not\rightrightarrows}f

Поэтому понятно, почему нельзя было гарантировать, что из $f_n\in C[0, 1]\implies f\in C[0, 1]$

II курс

Функциональные последовательности

II курс

Дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей