Skip to article frontmatterSkip to article content

Сходимость в ℝⁿ

Higher School of Economics

Для доказательства обобщённой теоремы Больцано—Вейерштрасса и вообще в дальнейшем нам понадобится следующее неравенство

max⁡1≤k≤n∣xk∣≤∑k=1nxk2≤nmax⁡1≤k≤n∣xk∣.\boxed{ \max_{1 \le k \le n} |x_k| \le \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} \le \sqrt{n} \max_{1\le k \le n} |x_k|.}
(1)

Действительно, перенумеруем все xix_i так, чтобы x12≤x22≤…≤xn2x_1^2 \le x_2^2 \le \ldots \le x_n^2, т. е. max⁡1≤k≤n∣xk∣=xn\max_{1 \le k \le n} |x_k| = x_n. Но тогда получаем

x11+⋯+xn2≤nxn2, \sqrt{x_1^1 + \cdots + x_n^2} \le n x_n^2,
(2)

и

xn2≤x11+⋯+xn2, x_n^2 \le \sqrt{x_1^1 + \cdots + x_n^2},
(3)

что и даёт требуемое неравенство.

Зафиксируем обозначения. Для каждого элемента xm\m{x}_m последовательности {x}\{\m{x}\}, положим xm=(x1m,x2m,…,xnm)⊤\m{x}_m = (x_{1m}, x_{2m}, \ldots, x_{nm})^\top для каждого m≥1m \ge 1. Таким образом, всю последовательность можно представить в виде бесконечной матрицы

x=(x1,…,xm,…,)=(x11x12…x1m…x21x22…x2m…⋮⋮⋱⋮⋱xn1xn2…xnm…) \m{x} = (\m{x}_1,\ldots, \m{x}_m, \ldots,) = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1m} & \ldots \\ x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2m} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots \\ x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{nm} & \ldots \end{pmatrix}
(4)
Proof

Согласно неравенству ((1)) для каждого 1≤k≤n1 \le k \le n, ∣xkm−ak∣≤d(xm,a)<r|x_{km} - a_k| \le d(\m{x}_m, \m{a})<r.

Имеем

lim⁡m→∞xm=a⟺∀ε>0 ∃M:∀m>M, d(xm,a)=∣∣xm−a∣∣<ε⟺∀ 1≤k≤n, ∣xkm−ak∣<ε⟺lim⁡m→∞xkm=ak, 1≤k≤n,\begin{align*} \lim_{m \to \infty} \m{x}_m = \m{a} &\Longleftrightarrow& \forall \varepsilon >0 \, \exists M : \forall m >M, \, d(\m{x}_m, \m{a}) = ||\m{x}_m - \m{a}|| < \varepsilon \\ &\Longleftrightarrow& \forall\, 1 \le k \le n,\, |x_{km} - a_k| < \varepsilon \\ &\Longleftrightarrow & \lim_{m \to \infty}x_{km} = a_k,\, 1 \le k \le n, \end{align*}
(5)

что доказывает требуемое.

Proof

Пусть {xm}⊆B(a,r)\{\m{x}_m\} \subseteq B(\m{a},r), тогда d(xm,a)<rd(\m{x}_m, \m{a})<r, но тогда согласно ((1)),

∣xkm−ak∣≤max⁡1≤k≤n∣xkm−ak∣≤d(xm,a)<r, |x_{km} - a_k| \le \max_{1\le k \le n}| x_{km} - a_{k} | \le d(\m{x}_m, \m{a})<r,
(6)

Так как a=(a1,…,an)⊤\m{a} =(a_1,\ldots, a_n)^\top —- фиксированная точка, то числовая последовательность {xkm}\{x_{km}\} ограничена при каждом mm и каждом 1≤k≤n1\le k \le n. Тогда по теореме Больцано—Вейерштрасса (Теорема Theorem 2) в последовательности (x1m)(x_{1m}) можно найти сходящуюся подпоследовательность (x1mt1)⊆(x1m)(x_{1m_{t1}}) \subseteq (x_{1m}), где t1t_1 пробегает какое-то множество индексов T1T_1. Рассмотрим теперь подпоследовательность (x2mt1)(x_{2m_{t_1}}) последовательности (x2m)(x_{2m}), которая также ограничена, значит, в ней можно найти сходящуюся подпоследовательность (x2mt2)(x_{2m_{t_2}}), где t2t_2 пробегает какое-то множество индексов T2⊆T1T_2 \subseteq T_1. Продолжая таким образом, мы в итоге получим набор подпоследовательностей

{(x1mt1),(x2mt2),…,(xnmtn)}, \{(x_{1m_{t_1}}), (x_{2m_{t_2}}), \ldots, (x_{nm_{t_n}})\},
(7)

где каждый tkt_k пробегает множество индексов TkT_k, при этом Tn⊆Tn−1⊆⋯⊆T2⊆T1.T_n \subseteq T_{n-1} \subseteq \cdots \subseteq T_2 \subseteq T_1.

Тогда положим

x′=((x1mtn)(x2mtn)⋮(xnmtn)), \m{x}' = \begin{pmatrix} (x_{1m_{t_n}}) \\ (x_{2m_{t_n}}) \\ \vdots \\ (x_{nm_{t_n}}) \end{pmatrix},
(8)

что и будет сходящейся подпоследовательностью.

Метрические пространства
Пределы
Анализ в ℝⁿ
Произведение метрических пространств и арифметика предела.