Интегрирование по допустимым множествам - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Лекция 7, 05.11.2024

$D\subset\RR^n$ допустимое множество, $f\colon D\to\mathcal{R}$ . Тогда интегралом Римана $f$ по $D$ будем называть число $\mathcal{I}$ .

\mathcal{I}=\int\limits_Df(\bar x)\d \bar x=\int\limits_{I\supset D}f\cdot \chi_D(\bar x)\d \bar x,

где $I$ — произвольный брус в $\RR^n\colon D\subset I$ .

Характеристическая функция:

\chi_D=\begin{cases} 1, & \bar x \in D\\ 0, & \bar x \not\in D \end{cases}

Если $\exists$ такое $\mathcal{I}<\infty$ , то $f\in\mathcal{R}(D)$ .

Обоснуем корректность такого определения.

Изначально $f$ не определена вне $D$ .
Вне $D$ можно доопределить $f$ как угодно, так как $f\cdot\xi_D=0$ при $x\not\in D$ .
Определение не зависит от выбора бруса $I$ .

Корректность определения

$D$ — допустимое множество в $\RR^n$ .

$I_1\supset D$ , $I_2\supset D$ , тогда интегралы $\displaystyle\int\limits_{I_1\supset D}f\cdot \chi_D\d x$ и $\displaystyle\int\limits_{I_2\supset D}f\cdot \chi_D\d x$ либо $\exists$ одновременно и равны, либо оба $\cancel\exists$ .

$f\cdot\chi_D\in\mathcal{R}(I_1)\implies$ по критерию Лебега $f\cdot\chi_D$ — ограничена на $I_1\implies f\cdot\chi_D$ ограничена на $D\implies f$ ограничена на $D\implies f\cdot\chi_D$ ограничена на $I_2\implies$ по критерию Лебега $f\cdot\chi_D$ — непрерывна почти всюду на $I_1\implies f\cdot\chi_D$ — непрерывна почти всюду на $D\implies f$ — непрерывна почти всюду на $D \implies$ в худшем случае для $f\cdot\chi_D$ на $I_2$ добавятся разрывы на $\partial D\implies f\cdot\chi_D$ непрерывна почти всюду на $I_2$ .

Покажем, что равны:

$\TT_i$ — разбиение на $I_i\colon \TT_1$ и $\TT_2$ совпадают на общей части $I_1\cap I_2$ .

$\xi^i$ — отмеченные точки $I_i\colon$ совпадают на общей части.

$\sigma(f\cdot\chi_D,\TT_1,\xi^1)=\sum_jf\chi_D(\xi^1_j)|I^1_j|=\sum_j f\cdot\chi_D(\xi_i)|I_j|=\sum_jf\cdot\chi_D(\xi_j^2)|I^2_j|=\sigma(f\cdot\chi_D,\TT_2,\xi^2)$

Theorem 7.1 (Фубини)

$I_x\subset\RR^n,I_y\subset\RR^n, I_x\times I_y\subset \RR^{m+n}$ — замкнутые брусы.

$f\colon I_x\times I_y\to\RR$

$f\in\mathcal{R}(I_x\times I_y)$ и $\forall$ фиксированного $x\in I_x\colon f(x,y)\in\mathcal{R}(I_y)\implies$

\int\limits_{I_x\times I_y}f(\bar x, \bar y)\d \bar x,\d\bar y=\int\limits_{I_x}\left(\int\limits_{I_y}f(\bar x, \bar y)\d\bar y\right)\d \bar x=\int\limits_{I_x}\d \bar x\int\limits_{I_y}f(\bar x,\bar y)\d \bar y

Proof 7.1

Будем пользоваться $f\in\mathcal{R}(I_x\times I_y)$ + критерием Дарбу.

$\TT_x=\{I_i^x\}, \TT_y=\{I_j^y\}$ — разбиения на $I_x, I_y\implies\TT_{x,y}$ — разбиение на $I_x\times I_y$ . $\TT_{x, y}=\{I_i^x\times I_j^y\}=\{I_{ij}\}\implies |I_{ij}|=|I^x_i|\cdot|I^y_j|$
$\begin{align*}\Sl(f,\TT_{x,y})&=\sum_{i,j}\inf_{(\bar x,\bar y)\in I_{ij}} f(\bar x,\bar y)\cdot|I_{ij}|\\&\leq\sum_{i,j}\inf_{x\in I_i^x} (\inf y\in I^y_j f(x,y))\cdot|I_i^x|\cdot|I_j^y|\\&=\sum_i\inf_{I_i^x}\underbrace{\left(\sum_j\inf_{I_j}(f(x,y))|I^y_j|\right)}_{\Sl(\tilde f(y),\TT_y)}|I^x_i|\\&\leq\sum_i\inf_{I^x_i}\underbrace{\left(\int\limits_{I_y}f(x,y)\d y\right)}_{g(x)}|I_i^x|\\&=\Sl(g(x),\TT^x)\leq\Su(g(x),\TT^x)\leq\ldots\leq\Su(f,\TT_{x,y})\end{align*}$

\Sl(f,\TT_{x,y})\leq\Sl(g(x),\TT^x)\leq\Su(g,\TT^x)\leq\Su(f,\TT_{xy})\\\implies\exists \mathcal{L}=\lim_{\Delta\to0}\Sl(g(x),\TT^x)=\mathcal{L}

Theorem 7.2 ((замена переменных в критерии интегрирования))

$M_1,M_2\subset\RR^n$ — открытые множества

$\varphi\colon M_1\to M_2$ — биективное отображение

$\varphi,\varphi^{-1}$ — непрерывно дифференцируемы

$D\colon\overline{D}\subset M_1$ — допустимое множество

$f\colon\varphi(D)\mapsto\RR$

$f(x)\in\mathcal{R}(\varphi(D))\iff f(\varphi(t))\cdot|\det\mathcal{J}_\varphi(t)|\in\mathcal{R}(D)$ , причём

\int\limits_{\varphi(D)}f(x)\d x=\int\limits_{D}f(\varphi(t))\cdot|\det\mathcal{J}_\varphi(t)|\d t

\mathcal{J}_\varphi(t)=\begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi_1}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial\varphi_1}{\partial t_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial\varphi_n}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial\varphi_n}{\partial t_n} \end{pmatrix}

II курс

Верхняя и нижняя суммы Дарбу

II курс

Функциональные последовательности