Функциональные последовательности - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Лекция 8, 05.11.2024

Example 8.2

$f_n(x)=\frac{x}{n}, D=\RR$
$\forall x_0\colon f_n(x_0)=\frac{x_0}{n}\to 0$ при $n\to\infty\implies f_n(x)\xrightarrow{\RR}0$ .
$f_n(x)=x^n, X=[0,+\infty)$
$D=[0, 1]$ — множество сходимости $f_n(x)$ .
$\begin{align*} &f_n(x)\xrightarrow{[0,1)} \text{при}\ n\to\infty\\ &f_n(x)\xrightarrow{\{1\}} 1 \end{align*}\implies f(x)=\begin{cases} 0, & x\in[0,1)\\ 1, & x=1 \end{cases}$

$f_n(x)=\frac{\sin(n^2 x)}{n}$ на $\RR$
$\forall x_0\in\RR,f_n(x_0)\to 0$ при $n\to\infty$ , $f_n(x)\xrightarrow{\RR}0$
$f_n'(x)=n\cos(n^2x)\not\to$ на $\RR$ на $f'(x)=0$ .

$f_n(x)=2(n+1)x(\underbrace{1-x^2}_{\leq 1})^n$ на $[0,1]$
$f_n(0)=0$ , $f_n(1)=0$
$f_n(x)=2\cdot\text{const}\cdot\boxed{(n+1)\cdot q^n}\to 0$ при $n\to\infty$ , т. е. $f_n(x)\xrightarrow{[0,1]}0$
Рассмотрим
$\int\limits^1_0f(x)\d x=0,\quad\int\limits^1_0f_n(x)\d x=-\frac{2(n+1)}{2}\int\limits^1_0(1-x^2)^n\d (x^2+1)=-(1-x^2)^{n+1}\biggm|^1_0=1$

Proof

$(\Rightarrow)$ Необходимость.

$f_n\overset{D}{\rightrightarrows}f$ , т. е. $\forall\ve>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in D, |f_n(x)-f(x)|<\frac{\ve}{2}$

так как выполняется $\forall x\in D$ , то верно, что в худшем случае

\sup_D|f_n(x)-f(x)|\leq\frac{\ve}{2}<\ve

т. е. $\forall\ve>0,\exists N, \forall n>N,\sup_D|f_n(x)-f(x)|<\ve$

$(\Leftarrow)$ **Достаточность.

$\lim_{n\to\infty}\sup_D|f_n(x)-f(x)|=0\implies$ по определению $\lim\colon\forall\ve>0,\exists N,\forall n>N\hookrightarrow\sup_D|f_n(x)-f(x)|<\ve$ , но знаем, что $|f_n(x)-f(x)|\leq\sup_D|f_n(x)-f(x)|\implies$ выполнено $\forall \ve>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in D\hookrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\ve\implies f_n(x)\overset{D}\rightrightarrows f(x)$ .

II курс

Интегрирование по допустимым множествам

II курс

Сходимость функциональных последовательностей