Верхняя и нижняя суммы Дарбу - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Пусть $I$ — замкнутый брус. $f\colon I\mapsto\RR$ . $\TT=\{I_i\}^k_{i=1}$ — разбиение бруса $I$ .

m_i=\inf_{I_i}(f),\quad M_i=\sup_{I_i}(f)

Proof

$\Sl(f,\TT)=\sum_im_i|I_i|=\sum_i\inf_{\xi_i}(f(\xi_i))\cdot|I_i|=\inf_\xi\sum_if(\xi_i)\cdot|I_i|=\inf_\xi\sigma(f,\TT,\xi)\leq\sup_\xi\sigma(f,\TT,\xi)=\sum_i\sup_{\xi_i}(f(\xi_i))\cdot|I_i|=\sum_iM_i|I_i|=\Su(f,\TT)$

Если $L\subset M$ , то $\inf L\leq \inf M$ и $\sup L\leq \sup M$ , тогда по первому пункту

\Sl(f,\TT)\leq\underline(f,\tilde\TT)\leq\Su(f,\tilde\TT)\leq\Su(f,\TT)

$\forall\TT_1\TT_2$ , рассмотрим $\tilde\TT=\TT_1\cap\TT_2$ тогда по второму пункту

\Sl(f,\TT_1)\leq\Sl(f,\tilde\TT)\leq\Su(f,\tilde\TT)\leq\Su(f,\TT_2)

Proof 6.1

Докажем, что $\underline{I}=\lim_{\Delta_\TT\to0}(\Sl(f,\TT))=\sup_\TT\Sl(f,\TT)$

Так как по определению $I=\sup_\TT\Sl(f,\TT)$ , то $\forall\ve>0,\exists\TT_1=\{I_i^1\}^{m_1}_{i=1}\colon$

\boxed{\underline{I}-\ve<\Sl(f,\TT_1)\leq\underline{I}<\underline{I}+\ve}

Пусть $G=\bigcup_{i=1}^{m_1}\partial I_i^1$ — объединение границ брусов (без повторов). $\implies G$ — множество меры нуль по Лебегу (т. к. границы — множества меры нуль)
Пусть $\TT_2$ — произвольное разбиение $I\colon\TT_2=\{I^2_i\}^{m_2}_{i=1}$ . Рассмотрим две кучки брусов:

\boxed{A=\{I_i^2\in\TT_2\colon I_i^2\cap G\neq\varnothing\}, B=\TT_2\setminus A}

\implies\forall\ve>0,\exists \delta(\ve)>0\colon\forall\TT_2\colon\Delta_{\TT_2}<\delta\hookrightarrow\boxed{\sum_{I_i^2\in A}|I_i^2|<\ve}

по определению множества меры нуль, так как $A$ — покрытие замкнутыми брусами, $G$ — множество меры нуль по Лебегу.

Хотим рассмотреть

\begin{align*}|\underline{I}-\Sl(f,\TT_2)|&=|\underline{I}-\Sl(f,\TT_1\cap\TT_2)+\Sl(f,\TT_1\cap\TT_2)-\Sl(f,\TT_2)|\\&\leq|\underline{I}-\Sl(f,\TT_1\cap\TT_2)|+|\Sl(f,\TT_1\cap\TT_2)-\Sl(f,\TT_2)|\\&<\ve+2M\ve=\ve(1+2M)\end{align*}

Из пункта 2 $\underline{I}-\ve<\Sl(f,\TT_1)\leq\Sl(f,\TT_1\cap\TT_2)\leq\underline{I}<\underline{I}+\ve\implies|\underline{I}-\Sl(f,\TT_1\cap\TT_2)|<\ve$
$\begin{align*}|\Sl(f,\TT_1\cap\TT_2)-\Sl(f,\TT_2)|&=\left|\sum_{I_i^2\in B}m_i|I_i^2|+\sum_{I^2_i\in\TT_1\cap A}m_i|I_i^2|-\sum_{I_i^2\in B}m_i|I_i^2|-\sum_{I_i^2\in A}m_i|I_i^2|\right|\\&=\left|\sum_{I_i^2\in\TT_i\cap A}m_i|I_i^2|\right|+\left|\sum_{I_i^2\in A}m_i|I_i^2|\right|\leq 2\left|\sum_{I_i^2\in A}m_i|I_i^2|\right|<2M\left|\sum_{I_i^2\in A}|I_i^2|\right|\leq 2M\ve\end{align*}$

Proof 6.2

$(\Rightarrow)$ Необходимость.

$f\in\mathcal{R}(I)\implies$ по необходимому условию интергируемости по Риману $f$ ограничена на $I$ .
Идея: показать, что $\boxed{\Il=\mathcal{L}}$ и $\Iu\implies \Il=\mathcal{L}$ .
1. $f\in\mathcal{R}(I)\implies\exists \mathcal{L},\forall\varepsilon>0,\exists\delta >0\colon\forall(\TT,\xi)\colon\Delta_\TT<\delta$ .
$|\underbrace{\sigma(f,\TT,\xi)}_\sigma-\mathcal{L}|<\varepsilon$
$\begin{align*}|\Il-\mathcal{L}|&=|\mathcal{L}-\Il-\sigma+\sigma+\Sl-\Sl\\&\leq\underbrace{|\mathcal{L}-\sigma|}_{<\varepsilon}+\underbrace{|\Il-\Sl|}_{<\varepsilon}+\underbrace{|\sigma-\Sl|}_{<\varepsilon}<3\varepsilon\end{align*}$
1. $\Il=\lim_{\Delta\to0}\Sl(f,\TT)\implies|\Il-\Sl|<\varepsilon$
$\forall\varepsilon>0,\exists\delta,\exists\TT\colon\Delta_\TT<\delta$
1. $\Sl(f,\TT)=\inf_\xi\sigma(f,\TT,\xi)$ . $|\Sl-\sigma|<3\ve$ .

$(\Leftarrow)$ Достаточность.

$f$ — ограничена и $\Il=\Iu$ . Имеем

\Sl(f,\TT)=\inf_\xi\leq\sigma(f,\TT,\xi)\leq\sup_\xi(f,\TT,\xi)=\Su(f,\TT)

Тогда при $\lim_{\Delta\to0}\Sl=\Il,\lim_{\Delta\to0}\Su=\Iu$ получаем $\Il=\Iu$ .