Определённый интеграл - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Понятие определённого интеграла восходит ещё к Архимеду. Мы рассмотрим неформальное введение, где объясним суть проблемы.

Неформальное введение¶

Пусть дана функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^1$ , которая непрерывна на отрезке $[a,b]$ . Будем писать $y = f(x)$ и будем считать, что функция на этом отрезке принимает только положительные значения. Рассмотрим фигуру $ABCD$ (см. рис.), ограниченную кривой $y=f(x)$ , двумя ординатами $x = a$ , $x =b$ и отрезком оси $Ox.$ Подобные фигуры называются криволинейными трапециями.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении площади плоской криволинейной трапеции $ABCD$ (см. рис.)

Площадь фигуры ABCD примерно равна сумме площадей разноцветных прямоугольников, и чем их больше, тем точнее будет ответ. — Площадь фигуры $ABCD$ примерно равна сумме площадей разноцветных прямоугольников, и чем их больше, тем точнее будет ответ.

Разделим основание $AB$ нашей фигуры произвольным образом на части и проведём ординаты, соответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьётся на ряд полосок.

Заменим теперь приближённо каждую полоску некоторым прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски. Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.

Обозначим абсциссы точек деления через

x_0 : = a < x_1 < x_2 < \cdots < x_i < x_{i+1} < \cdots < x_n =:b.

(1)

Будем нумеровать прямоугольники числами $0,1,2,\ldots, n-1$ и пусть $S_i$ — площадь $i$ -го прямоугольника. Ясно, что $S_i = y_i \Delta x_i$ , где $\Delta x_i: = x_{i+1} - x_i.$

Тогда приближённое значение площади криволинейной трапеции $S_{ABCD}$ равно

S_{ABCD} \approx \sum_{k = 0}^{n-1} y_k \Delta x_k.

(2)

Тогда можно предположить, что при убывании всех $\Delta x_i$ к нулю мы будем получать более точное значение, т.е. другими словами мы хотим сказать, что точное значение площади это следующий предел

S_{ABCD} = \lim_{\substack{\Delta x_1 \to 0 \\ \vdots \\ \Delta x_{n-1} \to 0}} \sum_{k = 0}^{n-1} y_k \Delta x_k.

(3)

Для обозначения предела такой суммы вида и был Лейбницем введён символ интеграла, т.е.

\int_a^b f(x) \mathrm{d}x : = \lim_{\substack{\Delta x_1 \to 0 \\ \vdots \\ \Delta x_{n-1} \to 0}} \sum_{k = 0}^{n-1} y_k \Delta x_k.

(4)

Интеграл ступенчатой функции¶

Предыдущее “определение” интеграла имеет очень много недостатков. Например, мы пользовались интуитивным пониманием площади криволинейной трапеции.

Здесь мы дадим строгое определение интеграла.

Разбиение промежутка¶

Напомним, что под промежутком мы понимаем подмножество прямой $\mathbb{R}$ одного из видов; $[a,b]$ , $[(a,b]$ , $[a,b)$ , $(a,b)$ , при этом мы считаем, что $|a|,|b| < \infty.$ Промежуток мы будем обозначать буквами $I$ или $J$ , а под длиной промежутка будем понимать выражение, $b-a$ и если $I$ один из рассмотренных промежутков, то будем писать $|I|: = b-a.$

Example 1

Пусть $I = [1,8]$ , тогда следующее множество

\lambda(I) : = \{ \varnothing, \{1\}, (1,3), [3,5), \{5\}, (5,8] \}

(5)

есть разбиение промежутка $I = [1,8]$ , потому что любой $x \in I$ лежит в одном и только в одном из перечисленных подмножеств множества $\lambda(I)$ . А если же мы положим, что

\lambda'(I): = \{ \varnothing, \{1\}, [1,3), (2,7), [3,5), \{5\}, (5,8] \}

(6)

то мы уже получаем не разбиение, поскольку, например, точка $2.5 \in [1,3)$ и $2.5 \in (2,7)$ .

Множество $\lambda''(I) := \{[1,4), (4,8]\}$ тоже не является разбиением промежутка $I = [1,8]$ так как 4 не принадлежит ни одному из подмножеств множества $\lambda''(I)$ . Наконец, множество $\lambda'''(I) := \{(0,5], (5,8]\}$ также не является разбиением промежутка $I = [1,8]$ , потому что $(0,5]$ не содержится в $I.$

Proof

Доказывать будем по индукции, а именно по мощности разбиения. То есть для всех разбиений, в которых ровно $n$ элементов верна формула $|I| = \sum_{A \in \lambda(I)}|A|$ .

(1) Если $n =0$ то значит, что $I = \varnothing$ , так как любое его разбиение не должно иметь непустых элементов, но тогда формула очевидна.

(2) Если $n=1$ , то это значит, что любое его разбиение имеет ровно один непустой элемент, а это значит, что $I = \{a\}$ — одноточечное множество, но и в таком случае формула тоже очевидна.

(3) Пусть формула верна для любых разбиений, в которых ровно $n\ge 1$ элементов. И допустим теперь, что у промежутка $I$ имеются разбиения, у которых $n+1$ элементов. Именно для таких разбиений мы будем доказывать формулу. Случаи, когда $I = \varnothing$ или же когда $I = \{a\}$ очень просты для рассмотрения, так как тогда все разбиения либо содержат пустое множество, либо пустое и одноточечное.

Итак, пусть $I$ — это одно из четырёх множеств $(a,b), (a,b], [a,b), [a,b]$ .

Допустим, что $b \in I$ тогда $I$ — это либо $(a,b]$ , либо $[a,b]$ . Рассмотрим произвольное разбиение $\lambda(I)$ , в котором ровно $n+1$ элементов, тогда должен найтись ровно один элемент, скажем, $B$ , который содержит $b$ .

С другой же стороны, $B \subseteq I$ , а тогда $B$ имеет либо вид $(c,b]$ , либо $[c,b]$ или же $\{b\}$ , где $a \le c \le b$ . Для удобства можно считать, что в последнем случае $c =b$ .

Рассмотрим теперь множество $I \setminus B$ , которое имеет вид либо $[a,c]$ , либо $(a,c)$ , либо $(a,c]$ , или $[a,c)$ , когда $c >a$ , или же $I \setminus B$ — это точка или пустое множество. Другими словами, $I\setminus B$ — это промежуток.

Далее, так как $I = B \cup I \setminus B$ и $B \cap I \setminus B = \varnothing$ , то множество $\lambda(I) \setminus B$ является разбиением промежутка $I\setminus B$ .

Таким образом, разбиение $\lambda(I)\setminus B$ содержит уже $n$ элементов. Но согласно предположению, для промежутка $I \setminus B$ верна формула

|I \setminus B| = \sum_{K \in \lambda(I) \setminus B} |K|

(8)

Воспользовавшись теперь равенством,

|I| =|B| + |I \setminus B|

(9)

мы получим

|I| = |B| + |I \setminus B| = |B| + \sum_{K \in \lambda(I) \setminus B} |K| = \sum_{A \in \lambda(I)} |A|.

(10)

(4) Осталось рассмотреть случай, когда $b \notin I$ , но тогда $I$ это либо $(a,b)$ либо $[a,b)$ и существует один из элементов множества $\lambda(I)$ который имеет вид либо $(c,b)$ или же $[c,b)$ . Это означает, что вид множества $I \setminus B$ может принять одно из четырёх значений $[a,c]$ , $(a,c)$ , $(a,c]$ , $[a,c)$ когда $c >a$ или же это точка или пустое множество. Остальная часть рассуждения продолжается как выше.

Ступенчатые функции¶

Сейчас мы опишем класс функций, которые ``очень просты’’ для интегрирования\footnote{Отметим, что эти функции также ещё называются кусочно-постоянными, в англоязычной литературе они так и называются, piecewise constant functions.}, а потом с помощью их мы уже определим интеграл в общем виде.

Example 2

Пусть $I = [1,6]$ и определим функцию $f: [1,6]: \to \mathbb{R}$ следующим образом

f(x) = \begin{cases} \,7, & 1 \le x < 3 \\ \,4, & x = 3 \\ \,5, & 3 < x <6 \\ \,2, & x = 6. \end{cases}

(11)

Тогда, если мы рассмотрим разбиение

\lambda(I) := \Bigl\{[1,3), \{3\}, (3,6), \{6\} \Bigr\}

(12)

промежутка $I$ , то получаем, что $f$ — ступенчатая функция относительно этого разбиения. Рассмотрим теперь другое разбиение этого же промежутка

\lambda'(I) : = \Bigl\{\varnothing, [1,2), \{2\}, (2,3), \{3\}, (3,5), [5,6),\{6\} \Bigr\}.

(13)

Тогда несложно видеть, что $f$ будет тоже ступенчатой относительно этого разбиения.

Этот пример показывает, что понятие ступенчатой функции можно определить без привлечения разбиения промежутка.

Proof

Действительно, пусть $A' \in \lambda'(I)$ — произвольный элемент разбиения, тогда найдётся такой $A \in \lambda(I)$ , что $A' \subseteq A$ . Тогда если $f(x) = \alpha$ для всех $x \in A$ , то и $f(x') = \alpha$ для всех $A'.$

Proof

Доказательство сразу вытекает из определения ступенчатой функции и сводится к простой проверке.

Интеграл от ступенчатой функции на промежутке¶

Итак, у нас всё готово, чтобы ввести следующее важное определение.

Example 4

Пусть $f: [1,4] \to \mathbb{R}$ определена следующим образом

f(x) = \begin{cases} \, 2 & 1 \le x <3 \\ \, 4 & x = 3 \\ \, 6 & 3< x \le 4 \end{cases}

(19)

и пусть $\lambda(I) = \{ [1,3), \{3\}, (3,4] \}$ , тогда

\begin{align*} \int_{\lambda(I)} f &=& \alpha_{[1,3)}\cdot | [1,3) | + \alpha_{\{3\}}\cdot |\{3\}| + \alpha_{(3,4]} \cdot | (3,4] | \\ &=& 2 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 6 \cdot 1 \\ &=& 10. \end{align*}

(20)

С другой стороны, рассмотрим такое разбиение $\lambda'(I) = \{ \varnothing, [1,2), [2,3), \{3\}, (3,4] \}$ , нетрудно видеть, что оно тоньше разбиения $\lambda(I)$ . Находим

\begin{align*} \int_{\lambda'(I)}f &=&\alpha_\varnothing \cdot |\varnothing| + \alpha_{[1,2)} \cdot | [1,2) | + \alpha_{[2,3)} \cdot |[2,3)| + \alpha_{\{3\}}\cdot |\{3\}| + \alpha_{(3,4]} \cdot | (3,4] | \\ &=& \alpha_\varnothing \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 6 \cdot 1 \\ &=& 10. \end{align*}

(21)

Итак, мы увидели, что, взяв разбиение тоньше, значение интеграла не изменилось, очевидно, что это верно и в общем случае.

Proof

Пусть $\lambda(I) = \{ A_1,\ldots, A_n \}$ и пусть

\lambda'(I) : = \Bigl\{A_{11}', \ldots, A'_{1\ell_1},\ldots, A'_{n1},\ldots, A'_{n\ell_n} \Bigr\},

(23)

где $A_i$ содержит только $A'_{i1},\ldots, A'_{i\ell_i}$ , $1\le i \le n$ . Из определения Definition 4 тогда следует, что $A_i = A'_{i1} \cup \cdots \cup A'_{i\ell_i}$ и $|A_i| = |A'_{i1}| + \cdots + |A'_{i\ell_i}|$ .

Наконец, используя лемму Lemma 1, получаем, что

f(A'_{i1}) = \cdots = f(A'_{i\ell_i}) = f(A_i), \qquad 1 \le i \le \ell.

(24)

Таким образом, имеем

\begin{align*} \int_{\lambda'(I)}f &=& \Bigl(f(A_{11}') \cdot \left| A'_{11} \right| + \cdots + f(A_{1\ell_1})\cdot \left|A'_{i\ell_1}\right|\Bigr) + \cdots + \Bigl(f(A_{11}') \left|A_{11}'\right| + \cdots + f(A_{1\ell_1})\cdot \left|A'_{i\ell_1}\right| \Bigr) \\ &=& f(A_1) \cdot \left( \left| A'_{11} \right| + \cdots + \left| A'_{1\ell_1} \right| \right) + \cdots + f(A_n) \cdot \left( \left| A'_{n1} \right| + \cdots + \left| A'_{n\ell_n} \right| \right) \\ &=& f(A_1) |A_1| + \cdots + f(A_n)\cdot |A_n| \\ &=& \int_{\lambda(I)}f. \end{align*}

(25)

Таким образом, мы можем ввести следующее определение, которое будем использовать в дальнейшем.

Example 5

Вернёмся к примеру . Пусть $f: [1,4] \to \mathbb{R}$ определена следующим образом

f(x) = \begin{cases} \, 2 & 1 \le x <3 \\ \, 4 & x = 3 \\ \, 6 & 3< x \le 4 \end{cases}

(27)

и пусть $\lambda(I) = \{ [1,3), \{3\}, (3,4] \}$ , тогда

\begin{align*} \int_{\lambda(I)} f &=& \alpha_{[1,3)}\cdot | [1,3) | + \alpha_{\{3\}}\cdot |\{3\}| + \alpha_{(3,4]} \cdot | (3,4] | \\ &=& 2 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 6 \cdot 1 \\ &=& 10. \end{align*}

(28)

Тогда

\int_{[1,4]}f =10.

(29)

Theorem 2

Пусть $I \subsetneq \mathbb{R}$ — промежуток и $f,g:I \to \mathbb{R}$ — две ступенчатые функции на нём.

$\int_I( f \pm g) = \int_I f \pm \int_I g , \qquad \alpha, \beta \in \mathbb{R}.$
(30)
Если $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in I$ , то
$\int_I f \ge \int_I g.$
(31)
Если $f(x) = \alpha$ для всех $x \in I$ , то
$\int_I f = \alpha \cdot |I|.$
(32)
Если $I \subseteq J$ и если $\varphi: J \to \mathbb{R}$ функция, определённая следующим образом
$\varphi(x) : = \begin{cases} f(x) & x \in I,\\ 0 & x \notin I, \end{cases}$
(33)
тогда $\varphi(x)$ — ступенчатая на $J$ и
$\int_J\varphi = \int_I f.$
(34)
Пусть $\{A,B\}$ — разбиение промежутка $I$ , тогда если функции $f|_A:A \to \mathbb{R}$ , $f|_B:B \to \mathbb{R}$ ступенчаты на $A$ и $B$ соответственно, то
$\int_I f = \int_A f|_A + \int_B f|_B .$
(35)

Proof

Пусть $\lambda_f(I) = \cup_{p=1}^n A_p$ , $\lambda_g(I) = \cup_{q=1}^m B_q$ — разбиения промежутка $I$ относительно которых $f$ , $g$ — ступенчаты, соответственно. Согласно предложению ,

\begin{align*} & f = \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m f(A_p) \cdot \chi_{A_p}\cdot \chi_{B_q} = \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m f(A_p) \cdot \chi_{A_p\cap B_q}, \\ & g= \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m g(B_q) \cdot \chi_{A_p} \cdot \chi_{B_q} = \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m g(B_q) \cdot \chi_{A_p\cap B_q}. \end{align*}

(36)

(1) Согласно следствию , $f\pm g = \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m (f(A_p) \pm g(B_q)) \cdot \chi_{A_p\cap B_q}$ , и тогда пользуясь замечанием Remark 1,

\begin{align*} \int_I (f\pm g) &=& \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m (f(A_p) \pm g(B_q)) \cdot \int_I \chi_{A_p \cap B_q} \\ &=&\sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m f(A_p) \cdot \int_I \chi_{A_p \cap B_q} \pm \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m g(B_q) \cdot \int_I \chi_{A_p \cap B_q} \\ &=& \int_I f \pm \int_I g. \end{align*}

(37)

(2) Если $f(x) \ge g(x)$ для всех $x\in I$ , то для любых $p,q$ таких, что $A_p \cap B_q \ne \varnothing$ , имеем $f(A_p) \ge g(B_q)$ . Тогда, согласно замечанию Remark 1,

\begin{align*} \int_I f &:=& \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m f(A_p) \cdot \int_I \chi_{A_p \cap B_q} = \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m f(A_p) \cdot |A_p \cap B_q| \\ &\ge & \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m g(A_p) \cdot |A_p \cap B_q| \\ &=& \sum_{p=1}^n\sum_{q=1}^m f(A_p) \cdot \int \chi_{A_p \cap B_q} \\ &=:& \int_I g. \end{align*}

(38)

(3) Если $f(x) = \alpha$ для всех $x\in I$ , то $f = \alpha \cdot \chi_I$ , и согласно замечанию Remark 1,

\int_f f = \alpha\cdot \int \chi_I = \alpha \cdot |I|.

(39)

(4) Пусть $\lambda(I)$ — разбиение промежутка $I$ и $f = \sum_{A \in \lambda(I)} f(A) \cdot \chi_A$ , то определим разбиение $\lambda(J)$ промежутка $J$ следующим образом

\lambda(J): = \lambda(I) \cup \{J\setminus I\}

(40)

положим, что $\varphi(J\setminus I) :=0$ мы получаем, что φ — ступенчата на $J.$ Мы можем также записать

\varphi = \sum_{A \in \lambda(I)} f(A) \chi_A + \varphi(J\setminus I) \chi_{J \setminus I}

(41)

тогда согласно Замечанию Remark 1,

\begin{align*} \int_J \varphi &=& \sum_{A \in \lambda(I)} f(A) \int_J \chi_A + \varphi(J\setminus I) \int_J \chi_{J \setminus I} \\ &=& \sum_{A \in \lambda(I)} f(A) \cdot |A| + 0 \cdot |J \setminus I|\\ &=& \int_I f. \end{align*}

(42)

(5) Пусть $\lambda(A): = \cup_{p=1}^n A_p$ , $\lambda(B) : = \cup_{q=1}^m B_q$ — разбиения промежутков $A,B$ соответственно. Тогда $\lambda : = \lambda(A) \cup \lambda(B)$ разбиение промежутка $I.$

Имеем

f = \sum_{C \in \lambda(I)} f(C) \cdot \chi_C = \sum_{p=1}^n f(A_p)\cdot \chi_{A_p} + \sum_{q=1}^m f(B_q)\cdot \chi_{B_q} = f|_A + f|_B,

(43)

тогда согласно замечанию Remark 1,

\begin{align*} \int_I f &=& \sum_{C \in \lambda(I)} f(C) \cdot \int_I \chi_C \\ &=& \sum_{C \in \lambda(I)} f(C) \cdot |C| \\ &=& \sum_{p=1}^n f(A_p) \cdot |A_p| + \sum_{q=1}^m f(B_q)\cdot |B_q| \\ &=& \int_A f|_A + \int_B f|_B. \end{align*}

(44)

Интегрирование линейных дифференциальных форм

Интегрирование форм, содержащих радикалы

Интегрирование на промежутке

Интеграл от ограниченной функции на промежутке