Интеграл от ограниченной функции на промежутке

Рассмотрим функции $a,b:I \to \mathbb{R}$, $a(x) := a$, $b(x): =b$, $x\in I$. Тогда $a \in m(f)$, $b \in M(f)$, тогда по определению $\sup, \inf$ (см. Определение ), получаем

Покажем теперь, что

Пусть $h\in m(f)$, $g\in M(f)$, и они — ступенчатые функции, тогда $h \le g$ и по теореме Theorem 2 (2), получаем

Отсюда вытекает

что и требовалось доказать.

что и доказывает утверждение.

Так как $f$ — ступенчата и $f(x) \le f(x)$ для всех $x \in I$, то $f\in M_{p.c}(f)$, $f \in m_{p.c.}(f)$, а тогда

т.е.,

но согласно лемме ,

откуда получаем, что

что и доказывает утверждение.

Согласно определениям , имеем

а так как $g \in M(f)$, $h\in m(f)$, то для всех $A \in \lambda_g(I)$, $B \in \lambda_h(I)$ имеем $g(A) \ge f(x)$, $h(B)\le f(y)$, $x \in A$, $y \in B$ но тогда

что и требовалось доказать.

Пусть $\lambda(I)$ —произволбное разбиение промежутка $I$, тогда рассмотрим множество $M_{p.c}(f, \lambda(I))$ всех ступенчатых относительно разбиения $\lambda(I)$ функции которые мажорируют функцию $f$ (соотв. минорируют функцию f).

(1) Покажем, что

Для любой $g\in M(f, \lambda(I))$, по лемме ,

тогда используя определение инфинума, имеем

для любой $g\in M(f, \lambda(I))$. Так как это неравенство верно для любого разбиения $\lambda(I)$, то получаем

а это мы и хотели показать.

(2) Покажем, что

Согласно определению Definition 2,

здесь мы воспользовались замечанием Remark 2. Это завершает доказательство.

Пусть $\overline{f}$ (соотв. $\underline{f}$) — функция из $M_{p.c}(f)$ (соотв. из $m_{p.c}(f)$). Тогда, ясно, что $\overline{f}+\overline{g} \in M_{p.c}(f+g)$ и $\underline{f}+ \underline{g} \in m_{p.c}(f+g).$

Если $f$ — интегрируема по Риману на $I$, то, согласно определению Definition 3

Тогда по определению $\inf$, $\sup$ для любого $\varepsilon >0$ найдутся такие $\overline{f} \in M_{p.c}(f)$, $\underline{f} \in m_{p.c}(f)$ что

(1) Покажем что $f+g$ интегрируема по Риману. Воспользуемся определением Definition 3, Теоремой Theorem 2 и полученными выше неравенствами

Аналогично, получаем

Теперь, по лемме , получаем

в частности имеем

для любого $\varepsilon>0$, но это и означает, что

т.е.,

что и доказывает утверждение.

(2) Покажем, что $\alpha f$ интегрируема по Риману. Нам нужно рассмотреть несколько случаев в зависимости от числа $\alpha.$

Пусть $\alpha = 0$, тогда $\alpha f=0$ — постоянная функция и тогда по лемме Lemma 2, интеграл Римана от функции $\alpha f$ тоже самое, что и интеграл от ступенчатой функции $\alpha \cdot f$ который равен $\alpha = 0.$

Пусть $\alpha >0$, то $\alpha \overline{f} \in M_{p.c}(\alpha f)$, $\alpha \underline{f} \in m_{p.c}(f)$. Тогда по определению $\inf$, $\sup$, теореме Theorem 2, и полученным выше неравенствам, получаем

пользуясь теперь леммой , имеем

В частности, получаем

для любого $\varepsilon >0.$ Это и означает, что

т.е.,

Пусть теперь $\alpha <0$, тогда можно записать $\alpha = - |\alpha|$ и в таком случае, если $|\alpha|\overline{f} \in M_{p.c}(|\alpha| f)$, то $\alpha f = - |\alpha| f \in m_{p.c}(-|\alpha| f)$. Аналогично, если $|\alpha| \overline{f} \in m_{p.c}(|\alpha| f)$, то $\alpha f = - |\alpha|f \in M_{p.c}(\alpha f)$.

Тогда получаем

аналогично

Таким образом пользуясь леммой , получаем

откуда и следует утверждение.

(3) Это сразу следует из (1) и (2) применённого к $f+(-g)$.

(4) Так как $f(x) \ge 0$ для всех $x \in I$, то нулевая функция $0:I \to \mathbb{R}$, $x \mapsto 0$, $x\in I$ принадлежит множеству $m_{p.c}(f)$, но тогда

но так как $f$ интегрируема по Риману, то

(5) Это сразу следует из (3) и (4) где нужно рассмотреть функцию $h = f-g.$

(6) Ясно, что функция $f(x) =\alpha$ — ступенчата на $I$, но тогда по лемме Lemma 2 она интегрируема по Риману, и более того, согласно Теореме Theorem 2 3., имеем

то и требовалось показать.

(7) Для данных $\overline{f}\in M_{p.c}(f)$, $\underline{f} \in m_{p.c}(f)$ определим $\overline{F}, \underline{F}:J \to \mathbb{R}$ следующим образом

тогда $\overline{F}\in M_{p.c}(F)$ и $\underline{F} \in m_{p.c}(F)$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ (см. неравенства (40)), пользуясь теоремой Theorem 2 4., получаем

и

Таким образом, для любого $\varepsilon>0$ мы получили

откуда следует, что

(8) Если функции $f|_A$, $f|_B$ интегрируемы по Риману, то утверждение сразу следует из (1) и (7). Действительно, рассмотрим функции

тогда $f = F_A + F_B$, и тогда согласно (1), (7) получаем

что и требовалось показать.

Итак, мы должны показать, что если функция $f$ интегрируема по Риману на $I$, то и функции $f|_A, f|_B$ тоже интегрируемы по Риману на $A$ и $B$, соответственно.

Выберем произвольный $\varepsilon>0$ и рассмотрим две произвольные функции $\overline{f} \in M_{p.c}(f)$, $\underline{f} \in m_{p.c}(f)$. Ясно, что $\overline{f}_A \in M_{p.c.}(f|_A)$ и $\underline{f}|_A \in m_{p.c}(\underline{f}).$

Имеем

и

Тогда воспользовавшись Теоремой Theorem 2 5., получаем

и

Тогда используя неравенства ((40)), имеем

отсюда вытекает следующие неравенства\footnote{Действительно если мы имеем $x-\varepsilon < x \le z < x+\varepsilon$, то $0 \le z-y < x-y+\varepsilon$, но так как $x-\varepsilon <y$, то $x-y<\varepsilon$ откуда $0 \le z - y \le 2 \varepsilon.$}

или то же самое, что и следующие неравенства

Так как $\overline{f}|_A \ge \underline{f}|_A$, $\overline{f}|_B \ge \underline{f}|_B$, то согласно теореме Theorem 2 2., получаем что обе скобки в положительны, а значит

и

для любого $\varepsilon>0.$

Теперь вернёмся к неравенствам полученным выше

и

Получаем, что

а так как это верно для любого $\varepsilon>0$ это означает, что

что и означает интегрируемость функций $f|_A$, $f|_B$ по Риману.