Фундаментальная последовательность и новый взгляд на действительные числа - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

В результате работы с последовательностями мы приходим к выводу, что не всегда бывает легко установить, к чему сходится та или иная последовательность. Приходится придумывать разные трюки и способы. Но даже и этого мало во многих случаях.

Example 1

Рассмотрим последовательность

a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2},

(1)

Нетрудно видеть, что она ограничена. Более того, очевидно, что она монотонна. Тогда по теореме Вейерштрасса она имеет предел $\lim_{n \to \infty}a_n = \sup\{a_n\}$ . Но найти его теми способами, которыми мы располагаем, очень трудно. Оказывается, что $\lim_{n \to \infty}a_n = \frac{\pi^2}{6}.$

Однако теорема Вейерштрасса не всегда применима, ведь не все последовательности монотонны.

Таким образом, нам нужно научится понимать, когда последовательность сходится, не используя предел. Более точно, мы должны научится понимать, когда последовательность сходится в терминах самой последовательности, не прибегая к дополнительным методам.

Иными словами, нам нужен критерий сходимости любой последовательности.

Example 3

Рассмотрим последовательность $\{a_n\} = \{\frac{1}{n}\}$ и покажем, что она фундаментальна. Это значит, что для любого $\varepsilon >0$ мы должны предъявить такой номер $N$ , что для всех $n,m > N$ будет верно неравенство $|\frac{1}{n} - \frac{1}{m}| < \varepsilon$ .

Воспользуемся неравенством треугольника:

\left|\frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| \le \left| \frac{1}{n}\right| + \left| \frac{-1}{m} \right| = \frac{1}{n} + \frac{1}{m},

(3)

поэтому если мы найдём хотя бы один $N$ такой, что для всех $n,m >N$ будет верно, что $\frac{1}{n} + \frac{1}{m} <\varepsilon$ , то мы и докажем, что последовательность фундаментальна.

Но ведь если мы положим $N:=\lfloor \frac{2}{\varepsilon} \rfloor$ , то для $n,m > \frac{2}{\varepsilon}$ , мы тогда получаем, что

\frac{1}{n} + \frac{1}{m} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

(4)

То есть если $N:=\lfloor \frac{2}{\varepsilon} \rfloor$ , то верно неравенство $|\frac{1}{n} - \frac{1}{m}| < \varepsilon$ для всех $n,m >N$ , что и показывает её фундаментальность.

Рассмотрим последовательность $\{a_n\} = \{(-1)^n\}$ . Пусть $\varepsilon = 1$ , тогда для любого номера $N$ , $|a_n - a_{n+1}| = 2 >1$ . Таким образом, эта последовательность не фундаментальна.

Другими словами, для таких отрезков есть общая точка.

Proof

По условию имеем

a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n \le \ldots \le b_n \le \ldots \le b_2 \le b_1,

(5)

Это означает, что последовательность $\{a_n\}$ не убывает и ограничена сверху. Тогда по теореме Вейерштрасса она имеет предел $\lim_{n \to \infty} a_n = \sup{a_n}$ . Обозначим его через $a$ .

С другой стороны последовательность $\{b_n\}$ не возрастает и ограничена снизу, тогда мы получаем, что $\lim_{n\to \infty} b_n = \inf\{b_n\}$ .

Далее, $b_n = a_n + (b_n - a_n)$ , тогда по арифметике предела:

\lim_{n \to \infty}b_n = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = a + 0 =a,

(6)

так как по условию длины стремятся к нулю, а $b_n - a_n$ и есть длина отрезка $I_n.$

Таким образом, $\sup\{a_n\} = \inf\{b_n\} =a$ , т. е. это значит, что для всех $n$ , $a_n \le a \le b_n$ , что и означает $a \in \cap_{n=1}^\infty I_n.$

Proof

(1) Пусть $\{a_n\}$ — сходящаяся последовательность, скажем, $\lim_{n \to \infty}a_n = a$ . Тогда для любого $\varepsilon>0$ можно найти такой $N$ , что для всех $n>N$ , $|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}$ . Тогда для любых $n,m \ge N$

|a_n - a_m| = |a_n - a + a - a_m| \le |a_n - a| + |a - a_m| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,

(7)

что и означает её фундаментальность.

(2) Пусть $\{a_n\}$ — фундаментальная последовательность. Выберем произвольную бесконечно малую последовательность $\{\varepsilon_k\}$ , т. е. $\lim_{k \to \infty} \varepsilon_k = 0$ , но $\varepsilon_k >0$ . Тогда для каждого $k$ найдутся такие $N_k$ , что $|a_n - a_m| < \varepsilon_k$ при $n,m \ge N_k$ . В частности $|a_n - a_{N_k}|<\varepsilon_k$ , то есть все $a_n \in [a_{N_k}-\varepsilon_k, a_{N_k}+\varepsilon_k]$ при $n\ge N_k$ .

Введём обозначения: $J_k:=[a_{N_k}-\varepsilon_k, a_{N_k}+\varepsilon_k]$ , тогда видно, что $|J_k| = 2\varepsilon_k$ , и тогда длины этих отрезков стремятся к нулю, так как $\lim_{k \to \infty} \varepsilon_k = 0$ .

Покажем что $J_k \cap J_{k+1} \ne \varnothing$ . Действительно, мы знаем что все $a_n \in J_k$ при $n\ge N_k$ , а также все $a_p \in J_{k+1}$ при $p \ge N_{k+1}$ , положим $N:=\max\{N_k,N_{k+1}\}$ , тогда при $n>N$ все $a_n \in J_k \cap J_{k+1}$ , i.e., $J_k \cap J_{k+1} \ne \varnothing$ .

Далее, положим

I_1:=J_1, \qquad I_2:=J_1 \cap J_2, \qquad I_3: = J_1 \cap J_2 \cap J_3,\quad \ldots,

(8)

таким образом, мы получили последовательность вложенных друг в друга отрезков

I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots,

(9)

длины которых стремятся к нулю. Тогда по Lemma 1 существует хотя бы одна $a \in \cap_{k=1}^\infty I_k$ . Но тогда $a \in [a_{N_k}-\varepsilon_k, a_{N_k}+\varepsilon_k]$ для любого $k$ , а это значит, что для любого $\varepsilon_k$ мы всегда знаем такой номер $N_k$ , что $|a_n - a|<2 \varepsilon_k$ . Последнее в силу единственности предела и произвольной последовательности из $\varepsilon_k$ показывает, что $\lim_{n\to \infty}a_n = a$ .

Понятие фундаментальной последовательности естественным образом вводится в произвольном метрическом пространстве. Говорят, что метрическое пространство $X$ полное, если любая фундаментальная последовательность сходится к какому-то элементу из этого же $X$ . В противном случае, можно ввести операцию пополнения $X \mapsto \bar X$ , которая добавляет пределы ВСЕХ фундаментальных последовательностей.

То есть эти последовательности и есть фундамент для построения анализа, исходя только из рациональных чисел. Поясним на примере:

Пространство $\mathbb{R}$ , где расстояние между числами — это модуль их разности является полным пространством. С другой стороны, пространство $\mathbb{Q}$ с той же метрикой полным уже не является. Например, рассмотренная ранее последовательность $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$ , $a_1 =2$ , имеет предел $\sqrt{2}$ , который не лежит в $\mathbb{Q}$ . Тогда, добавив пределы всех фундаментальных последовательностей, мы и получим $\mathbb{R}$ .

Другими словами, множество действительных чисел можно определить как множество фундаментальных последовательностей из $\mathbb{Q}$ с очевидными операциями. Если $\mathbf{a} = \{a_n\}$ , $\mathbf{b} = \{b_n\}$ , то положим

\begin{align*} & \mathbf{a} + \mathbf{b}: = \{a_n + b_n\}, \\ & \mathbf{a} + \mathbf{b}: = \{a_n \cdot b_n\}. \end{align*}

(10)

Итак, действительные числа можно определить как

\Huge{ \boxed{ \boxed{ \mathbb{R}: = \overline{\mathbb{Q}}. } } }

(11)

Действительные числа и последовательности

Возрастающие последовательности. Теорема Вейерштрасса.

Действительные числа и последовательности

Подпоследовательности и частичные пределы.