Понятие неопределённого интеграла - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Предыдущий пример доставляет нам множество линейных дифферециальных форм. Возникает естественный вопрос:

Пусть нам дана произвольная линейная дифференциальная форма $\omega \in \Omega^1(R^n)$ , существует ли функция $f:R^n \to \mathbb{R}$ такая, что $\nabla f = \omega$ ?

Ответом на этот вопрос и занимается теория интегрирования.

Мы же ограничимся случаем, когда $f$ есть функция от одной переменной, т.е. мы будем развивать теорию интегрирования для $\Omega^1(\mathbb{R}).$

Для дальнейшего нам понадобится следующее:

Понятие неопределённого интеграла возникает при решении следующей задачи: пусть мы знаем некоторую функцию $f(x)$ , существует ли такая функция $F(x)$ , что $F'(x) =f(x)?$

Proof

(1) Если $F(x)$ — интеграл для фукнции $f(x)$ , то $F'(x) = f(x)$ , а тогда

(F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = f(x) + 0 = f(x),

(2)

что и означает, что $F(x) +C$ тоже интеграл для $f(x).$

(2) Пусть $F(x), G(x)$ — два интеграла для фукнции $f(x)$ на промежутке $I$ . Пусть $\Phi(x): = F(x) - G(x)$ , тогда для любого $x_0 \in I$ имеем $\Phi'(x_0) = 0$ . Возьмём (Аксиома Выбора позволяет) другую точку $x \in I$ , тогда в зависимости от знака $x_0 - x$ либо $[x_0, x] \subseteq I$ , либо $[x,x_0] \in I$ . В любом случае, мы имеем выполнение требований теоремы Лагранжа (см. Теорему Theorem 6) для функции $\Phi(x)$ . Таким образом, найдётся точка $c \in (x_0, x)$ (соотв., $c \in (x, x_0)$ ) такая, что

\Phi(x) - \Phi(x_0) = \Phi'(c)(x-x_0),

(3)

ясно, что $c \in I$ , но тогда $\Phi'(c) = 0$ , и мы получаем $\Phi(x) = \Phi(x_0) = C$ для любых двух $x,x_0 \in I$ . Это завершает доказательство.

В силу этого мы вводим следующее определение, которое является очень важным для дальнейшего.

\boxed{**Таким образом, интегрируют не функцию $f(x)$ , а дифференциальную форму $f(x)\mathrm{d}x$ !} }

Покажем, что операции $\mathrm{d}$ , $\int$ обратны друг к другу.

Proof

Пусть $\int f(x) \mathrm{d}x = F(x)+С$ , тогда, согласно определению Definition 2, $F'(x) = f(x)$ , и тогда

\left(\int f(x) \mathrm{d}x \right)' = (F(x) + C)' = F'(x) = f(x),

(7)

откуда, согласно ((8)),

\mathrm{d} \int f(x)\mathrm{d}x = f(x) \mathrm{d}x.

(8)

Proof

Если $F(x)$ — интеграл функции $f(x)$ , то согласно определению Definition 2, $F'(x) = f(x)$ , и тогда

\int F'(x) \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x

(10)

и по Теореме Theorem 1, получаем

\int F'(x) \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x = F(x) +C.

(11)

Наконец, так как согласно ((8)), $\mathrm{d}F(x) = F'(x) \mathrm{d}x$ , то используя предыдущие выкладки, мы завершаем доказательство.

Example 2

Так как $(\sin (x))' = \cos(x)$ , то мы можем написать

\int \cos(x) \mathrm{d}x = \sin(x) +C,

(12)

а так как $(\cos (x))' = -\sin(x)$ , то

\mathrm{d} \cos(x) = - (\cos (x))'\mathrm{d}x = - \sin(x) \mathrm{d}x.

(13)

т. е. мы получаем

\sin(x) \mathrm{d}x = - \mathrm{d} \cos(x),

(14)

а учитывая, что дифференциал линеен, то мы тогда можем записать последнее равенство так:

\sin(x) \mathrm{d}x = - \mathrm{d} \cos(x) = \mathrm{d}(-\cos(x)).

(15)

Тогда, согласно Лемме Lemma 2,

\int \sin(x) \mathrm{d}x = \int \mathrm{d}(-\cos(x)) = -\cos(x) + C.

(16)

Proof

Пусть $F(x)$ , $G(x)$ — интегралы для фукнции $f(x)$ и $g(x)$ , соответственно.

(1) Прежде всего, докажем, что

\int \alpha f(x) \mathrm{d}x = \alpha \int f(x) \mathrm{d}x.

(18)

Если $\alpha = 0$ , то мы получаем тождество, поэтому пусть $\alpha \ne 0.$ В силу линейности дифференциала, теоремы Theorem 1 и леммы Definition 3, получаем

\begin{align*} \int \alpha f(x) \mathrm{d}x &= \int \alpha \mathrm{d}F(x) \\ &= \int \mathrm{d}(\alpha F(x)) \\ &= \alpha F(x) + C \\ &= \alpha \left( F(x) + \frac{C}{\alpha} \right). \end{align*}

(19)

Так как $C$ — произвольное число, то число $\frac{C}{\alpha}$ можно также рассматривать как произвольное, и тогда согласно определению Definition 3, выражение в последней скобке — это $\int f(x) \mathrm{d}x$ .

Получаем

\begin{align*} \int \alpha f(x) \mathrm{d}x &=\alpha \left( F(x) + \frac{C}{\alpha} \right) \\ & =& \alpha \int f(x) \mathrm{d}x. \end{align*}

(20)

(2) Пусть $\alpha, \beta\ne 0$ , так как в противном случае, мы либо получаем тождество $0 \equiv 0$ , либо что уже было доказано выше.

Используя те же свойства и только что полученное, получаем

\begin{align*} \int \Bigl(\alpha f(x) + \beta g(x) \Bigr) \mathrm{d}x &= \int\Bigl( \alpha f(x) \mathrm{d}x + \beta g(x) \mathrm{d}x \Bigr) \\ &= \int \Bigl( \alpha \mathrm{d}F(x) + \beta \mathrm{d}G(x) \Bigr) \\ &= \int \Bigl( \mathrm{d}(\alpha F(x)) + \mathrm{d}(\beta G(x)) \Bigr) \\ &= \int \mathrm{d}(\alpha F(x) + \beta G(x)) \\ &= \alpha F(x) + \beta G(x) + C. \end{align*}

(21)

Имеем $C = \frac{C}{2} + \frac{C}{2}$ и так как $C$ — произвольное число, то и числа $\frac{C}{2\alpha}$ , $\frac{C}{2\beta}$ тоже можно считать произвольными. Тогда согласно определению Definition 3, линейности дифференциала и леммы Definition 3, получаем

\begin{align*} \int \Bigl(\alpha f(x) + \beta g(x) \Bigr) \mathrm{d}x &= \alpha F(x) + \beta G(x) + C \\ &= \alpha \left( F(x) + \frac{C}{2\alpha} \right) + \left(G(x) + \frac{C}{2\beta} \right) \\ &=\alpha \int \mathrm{d}F(x) + \beta \int \mathrm{d}G(x) \\ &= \alpha \int f(x) \mathrm{d}x + \beta \int g(x) \mathrm{d}x. \end{align*}

(22)

Интегрирование линейных дифференциальных форм

Линейные дифференциальные формы

Интегрирование линейных дифференциальных форм

Способы интегрирования