Здесь мы рассмотрим некоторые способы для интегрирования дифференциальных форм от одной переменной. Мы также приведём примеры форм, интегралы от которых невозможно выразить через элементарные функции.
Отметим также, что мы будем говорить об интегралах лишь для непрерывных функций . Если функция задана конкретно и имеет точки разрыва, то рассматривать её будем лишь в промежутках её непрерывности. Поэтому мы освобождаемся от необходимости всякий раз оговаривать существование интегралов:
Замена переменных ¶ Рассмотрим дифференциальную форму ω = f ( x ) d x ∈ Ω 1 ( R ) \omega = f(x) \mathrm{d}x \in \Omega^1(\mathbb{R}) ω = f ( x ) d x ∈ Ω 1 ( R ) x x x t t t т.е. x = φ ( t ) x = \varphi(t) x = φ ( t )
Proof
Если φ : R → R \varphi:\mathbb{R} \to \mathbb{R} φ : R → R
d x = d φ ( t ) = φ ′ ( t ) d t ,
\mathrm{d} x = \mathrm{d} \varphi(t) = \varphi'(t)\mathrm{d}t, d x = d φ ( t ) = φ ′ ( t ) d t , и тогда получаем
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t ,
\int f(x) \mathrm{d}x = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathrm{d}t, ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( φ ( t )) φ ′ ( t ) d t , что и требовалось доказать.
Покажем, что
∫ x α d x = x α + 1 α + 1 + C , α ∈ R , α ≠ − 1.
\int x^\alpha \mathrm{d}x = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C, \qquad \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ne -1. ∫ x α d x = α + 1 x α + 1 + C , α ∈ R , α = − 1. Пусть y ( x ) = x α + 1 y(x) = x^{\alpha+1} y ( x ) = x α + 1 Lemma 2
∫ d y = y + C ′ ⟺ ∫ d x α + 1 = x α + 1 + C ′ .
\int \mathrm{d}y = y+ C' \Longleftrightarrow \int \mathrm{d} x^{\alpha +1} = x^{\alpha +1} + C'. ∫ d y = y + C ′ ⟺ ∫ d x α + 1 = x α + 1 + C ′ . Далее, y ′ ( x ) = ( α + 1 ) x α y'(x) = (\alpha +1) x^\alpha y ′ ( x ) = ( α + 1 ) x α Theorem 1
∫ d y = ∫ ( α + 1 ) x α d x = x α + 1 + C ′ .
\int \mathrm{d}y = \int (\alpha +1) x^{\alpha} \mathrm{d}x = x^{\alpha +1} + C'. ∫ d y = ∫ ( α + 1 ) x α d x = x α + 1 + C ′ . Наконец, согласно предложению Proposition 1
∫ ( α + 1 ) x α d x = x α + 1 + C ′ ⟺ ( α + 1 ) ∫ x α d x = x α + 1 + C ′ ,
\int (\alpha +1) x^{\alpha} \mathrm{d}x = x^{\alpha +1} + C' \Longleftrightarrow (\alpha +1) \int x^\alpha \mathrm{d}x = x^{\alpha +1} + C', ∫ ( α + 1 ) x α d x = x α + 1 + C ′ ⟺ ( α + 1 ) ∫ x α d x = x α + 1 + C ′ , и полагая C : = C ′ α + 1 C: = \frac{C'}{\alpha +1} C := α + 1 C ′
Интегрирование по частям ¶ Докажем следующую формулу, которая называется правилом интегрирования по частям .
Theorem 2 ([Интегрирование по частям])
Пусть u = u ( x ) u = u(x) u = u ( x ) v = v ( x ) v= v(x) v = v ( x ) x x x u ′ = u ′ ( x ) u'= u'(x) u ′ = u ′ ( x ) v ′ = v ′ ( x ) v' = v'(x) v ′ = v ′ ( x )
∫ u d v = u v − ∫ v d u .
\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u. ∫ u d v = uv − ∫ v d u . Согласно (
d ( u v ) = ( u v ) ′ d x = u ′ v d x + u v ′ d x = v ( u ′ d x ) + u ( v ′ d x ) = v d u + u d v . \begin{align*}
\mathrm{d}(uv) &= (uv)' \mathrm{d}x \\
&= u'v \mathrm{d}x + uv'\mathrm{d}x \\
&= v \bigl( u'\mathrm{d}x\bigr) + u \bigl( v'\mathrm{d}x \bigr) \\
&= v \mathrm{d}u + u \mathrm{d}v.
\end{align*} d ( uv ) = ( uv ) ′ d x = u ′ v d x + u v ′ d x = v ( u ′ d x ) + u ( v ′ d x ) = v d u + u d v . Таким образом, u d v = d ( u v ) − v d u u\mathrm{d}v = \mathrm{d}(uv) - v \mathrm{d}u u d v = d ( uv ) − v d u Proposition 1 Lemma 2
∫ u d v = ∫ ( d ( u v ) − v d u ) = ∫ d ( u v ) − ∫ v d u = u v − ∫ v d u , \begin{align*}
\int u \mathrm{d}v &= \int \Bigl( \mathrm{d}(uv) - v \mathrm{d}u \Bigr) \\
&= \int \mathrm{d}(uv) - \int v \mathrm{d}u \\
&= uv - \int v \mathrm{d}u,
\end{align*} ∫ u d v = ∫ ( d ( uv ) − v d u ) = ∫ d ( uv ) − ∫ v d u = uv − ∫ v d u , что и требовалось доказать.
Следует заметить, что более формально мы должны были бы записать
∫ d ( u v ) − ∫ v d u = u v + C − ∫ v d u ,
\int \mathrm{d}(uv) - \int v \mathrm{d}u = uv + C - \int v \mathrm{d}u, ∫ d ( uv ) − ∫ v d u = uv + C − ∫ v d u , но выражение C − ∫ v d u C - \int v \mathrm{d}u C − ∫ v d u v d u v\mathrm{d}u v d u ∫ v d u . \int v \mathrm{d}u. ∫ v d u .
Рассмотрим типичные примеры на использование этого правила.
Рассмотрим форму ln ( x ) d x \ln(x) \mathrm{d}x ln ( x ) d x u = ln ( x ) u = \ln(x) u = ln ( x ) v = x v = x v = x ∫ ln ( x ) d x = ln ( x ) ⋅ x − ∫ x d ( ln ( x ) ) ,
\int \ln(x) \mathrm{d}x = \ln(x)\cdot x - \int x \mathrm{d}(\ln (x)), ∫ ln ( x ) d x = ln ( x ) ⋅ x − ∫ x d ( ln ( x )) , d ( ln ( x ) ) = ( ln ( x ) ) ′ d x = 1 x d x \mathrm{d}(\ln(x)) = (\ln(x))'\mathrm{d}x = \frac{1}{x}\mathrm{d}x d ( ln ( x )) = ( ln ( x ) ) ′ d x = x 1 d x ∫ ln ( x ) d x = ln ( x ) ⋅ x − ∫ x x d x = x ln ( x ) − ∫ d x = x ln ( x ) − x + C . \begin{align*}
\int \ln(x) \mathrm{d}x &= \ln(x) \cdot x - \int \frac{x}{x}\mathrm{d}x \\
&= x \ln(x) - \int \mathrm{d}x \\
&= x\ln(x) - x + C.
\end{align*} ∫ ln ( x ) d x = ln ( x ) ⋅ x − ∫ x x d x = x ln ( x ) − ∫ d x = x ln ( x ) − x + C . Рассмотрим форму arctan ( x ) d x \arctan(x) \mathrm{d}x arctan ( x ) d x u = arctan ( x ) u = \arctan(x) u = arctan ( x ) v = x v = x v = x ∫ arctan ( x ) d x = arctan ( x ) ⋅ x − ∫ x d ( arctan ( x ) ) ,
\int \arctan(x) \mathrm{d}x = \arctan(x) \cdot x - \int x \mathrm{d}(\arctan(x)), ∫ arctan ( x ) d x = arctan ( x ) ⋅ x − ∫ x d ( arctan ( x )) , d ( arctan ( x ) ) = ( arctan ( x ) ) ′ d x = d x 1 + x 2 ,
\mathrm{d}(\arctan(x)) = (\arctan(x))'\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x}{1+ x^2}, d ( arctan ( x )) = ( arctan ( x ) ) ′ d x = 1 + x 2 d x , ∫ arctan ( x ) d x = x arctan ( x ) − ∫ x d x 1 + x 2 = x arctan ( x ) − 1 2 ∫ d ( x 2 ) 1 + x 2 = x arctan ( x ) − 1 2 ∫ d ( x 2 + 1 ) 1 + x 2 = x arctan ( x ) − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C . \begin{align*}
\int \arctan(x) \mathrm{d}x &= x \arctan(x) - \int \frac{x\mathrm{d}x}{1+x^2} \\
&= x \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}(x^2)}{1+x^2} \\
&= x \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}(x^2+1)}{1+x^2}\\
&= x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C.
\end{align*} ∫ arctan ( x ) d x = x arctan ( x ) − ∫ 1 + x 2 x d x = x arctan ( x ) − 2 1 ∫ 1 + x 2 d ( x 2 ) = x arctan ( x ) − 2 1 ∫ 1 + x 2 d ( x 2 + 1 ) = x arctan ( x ) − 2 1 ln ( 1 + x 2 ) + C . Рассмотрим форму ω = x 2 sin ( x ) d x \omega = x^2 \sin(x) \mathrm{d}x ω = x 2 sin ( x ) d x u = x 2 sin ( x ) u = x^2 \sin(x) u = x 2 sin ( x ) v = x v = x v = x d u = u ′ d x = ( x 2 sin ( x ) ) ′ d x = 2 x sin ( x ) d x + x 2 cos ( x ) d x ,
\mathrm{d}u = u'\mathrm{d}x = (x^2 \sin(x))'\mathrm{d}x = 2x \sin(x) \mathrm{d}x + x^2 \cos(x) \mathrm{d}x, d u = u ′ d x = ( x 2 sin ( x ) ) ′ d x = 2 x sin ( x ) d x + x 2 cos ( x ) d x , ∫ x 2 sin ( x ) d x = x 3 sin ( x ) − ∫ x ( 2 x sin ( x ) + x 2 cos ( x ) ) d x = x 3 sin ( x ) − 2 ∫ x 2 sin ( x ) d x − ∫ x 3 cos ( x ) d x \begin{align*}
\int x^2 \sin(x) \mathrm{d}x &= x^3 \sin(x) - \int x \bigl( 2x \sin(x) +x^2 \cos(x) \bigr)\mathrm{d}x \\
&= x^3 \sin(x) - 2 \int x^2 \sin(x) \mathrm{d}x - \int x^3 \cos(x) \mathrm{d}x
\end{align*} ∫ x 2 sin ( x ) d x = x 3 sin ( x ) − ∫ x ( 2 x sin ( x ) + x 2 cos ( x ) ) d x = x 3 sin ( x ) − 2 ∫ x 2 sin ( x ) d x − ∫ x 3 cos ( x ) d x ∫ x 2 sin ( x ) d x = x 3 3 sin ( x ) − ∫ x 3 cos ( x ) d x .
\int x^2 \sin(x) \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3}\sin(x) - \int x^3 \cos(x) \mathrm{d}x. ∫ x 2 sin ( x ) d x = 3 x 3 sin ( x ) − ∫ x 3 cos ( x ) d x . Таким образом, задача свелась к нахождению интеграла от формы x 3 cos ( x ) d x x^3 \cos(x)\mathrm{d}x x 3 cos ( x ) d x u = x 3 cos ( x ) u= x^3 \cos(x) u = x 3 cos ( x ) v = x v = x v = x x 4 sin ( x ) d x . x^4 \sin(x)\mathrm{d}x. x 4 sin ( x ) d x .
Таким образом, интегрировать первоначальную форму x 2 sin ( x ) d x x^2 \sin(x) \mathrm{d}x x 2 sin ( x ) d x d ( − cos ( x ) ) = sin ( x ) d x \mathrm{d}(-\cos(x)) = \sin(x) \mathrm{d}x d ( − cos ( x )) = sin ( x ) d x
ω = x 2 sin ( x ) d x = x d ( − cos ( x ) ) ,
\omega = x^2 \sin(x) \mathrm{d}x = x \mathrm{d}(-\cos (x)), ω = x 2 sin ( x ) d x = x d ( − cos ( x )) , тогда, если положить, что u = x u = x u = x v = − cos ( x ) v = - \cos(x) v = − cos ( x )
∫ ω = ∫ u d ( v ) = u v − ∫ v d u = x ( − cos ( x ) ) − ∫ ( − cos ( x ) ) d x = − x cos ( x ) + ∫ cos ( x ) d x = − x cos ( x ) + sin ( x ) + C . \begin{align*}
\int \omega &= \int u \mathrm{d}(v) = uv - \int v \mathrm{d}u \\
&= x (- \cos(x)) - \int (-\cos(x))\mathrm{d}x \\
&= - x \cos(x) + \int \cos(x) \mathrm{d}x \\
&= - x \cos(x) + \sin(x) +C.
\end{align*} ∫ ω = ∫ u d ( v ) = uv − ∫ v d u = x ( − cos ( x )) − ∫ ( − cos ( x )) d x = − x cos ( x ) + ∫ cos ( x ) d x = − x cos ( x ) + sin ( x ) + C .