Пространства в ℝⁿ

Таким образом, $\mathbb{R}^n$ — это линейное пространство или векторное пространство над $\mathbb{R}$.

Когда мы будем говорить об $\mathbb{R}^n$ как о векторном пространстве, то каждый набор будем записывать как вектор, т. е. в виде $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = (x_1,\ldots, x_n)^\top.$

Возьмём $\mathbf{x} = (x_1,\ldots, x_n)^\top \in \mathbb{R}^n$, тогда ясно, что

Множество $\mathbb{e} = \{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}$, где $\mathbf{e}_1 = (1,0, \ldots, 0)^\top, \ldots, \mathbf{e}_n = (0,0,\ldots, 1)^\top$, называется базисом пространства $\mathbb{R}^n.$

Отображения в $\mathbb{R}^n$¶

Линейное отображение $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ -- это такое отображение, что $f(\alpha \m{x} +\beta \m{y]} ) = \alpha f(\m{x}) +\beta f(\m{y})$, где $\m{x,y} \in \mathbb{R}^n$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}.$

В таком случае, линейное отображение $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ достаточно задать на базисных векторах и мы получаем что-то вроде

что и кодируется матрицей $A = \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}$

Скажем также, что если у нас есть два линейных отображения $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$, $g:\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^m$, закодированные матрицами $A$ и $B$ соответственно, то отображение $g \circ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ будет задаваться этим странным умножением матриц строка на столбец!!! умножением матриц $BA$.

Но понятно, что одними только линейными всё не ограничивается. Ведь вовсе не обязательно, что образ прямой будет всегда прямая при любом её отображении.

Можно рассмотреть, например, и что-то более экзотическое, как показано на рисунке ниже.

Однако же, это не означает, что линейную алгебру не надо изучать. Как раз наоборот, в сущности, анализ изучает любые подобное отображения с помощью линейной алгебры; локально они устроены как раз таки линейно (см. Figure 4).