Нормированные пространства

Во-первых, имеем $||x-y|| = || (-1)(y-x)|| = |-1| \cdot ||y-x|| = ||y-x||$. Во-вторых, имеем

и

тогда получаем

Так как $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, то для любого $\varepsilon >0$ найдётся такой $N$, что $||x_n - a|| < \varepsilon$ для всех $n >N$. Тогда по лемме Lemma 1,

для всех $n>N$, что и доказывает предложение.

Так как эквивалентность норм есть отношение эквивалентности, то достаточно показать, что любая норма $||?||_1$ эквивалентна евклидовой норме $||?||.$

(1) Пусть $\m{x} \in \mathbb{R}^n$, тогда $\m{x} = x_1 \m{e}_1 + \cdots + x_n \m{e}_n$, тогда

так как $|x_i| \le \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ для каждого $1\le i \le n$, то мы получили

(2) Будем рассуждать от противного. Пусть не существует такого числа $c$, что $||\m{x}|| \le c ||\m{x}||_1$. Это значит, что для любого натурального $N \in \mathbb{N}$ найдётся $x_N \ne 0$ такой, что $||x_N|| > N ||x_N||_1$. С другой стороны, для любого $\lambda \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, $||\lambda x_N|| > N || \lambda x_N||_1$.

Пусть $\m{y}_N: = \frac{\m{x}_N}{||\m{x}_N||}$, тогда $||\m{y}_N|| > N ||y_N||_1$, и так как $||y_N|| = 1$, получаем, что $||y_N||_1 < \frac{1}{N}$. Это значит, что $\lim_{N \to \infty} ||y_N||_1 = 0.$

Далее, мы получаем последовательность $(\m{y}_N)$, для которой $||y_{N}|| =1$, то есть все $y_N$ лежат в шаре $B(0,r) \subseteq (\mathbb{R}^n, ||?||)$, $r>1$, т. е. она ограничена по норме $||?||.$ Тогда по обобщённой теореме Больцано—Вейерштрасса (Теорема Theorem 1) найдётся сходящаяся подпоследовательность $(\m{y}_{N_k})$, $\lim_{N_k \to \infty} \m{y}_{N_k} = \m{a}$.

Мы уже показали, что $||y_{N_k} - \m{a}||_1 \le c || y_{N_k} - \m{a}||$, но это значит, что тогда последовательность $(y_{N_k})$ также сходится к $\m{a}$ и по норме $||?||_1.$ С другой стороны, мы уже показали, что $\lim_{N \to \infty} ||y_N||_1 = 0$, тогда по Предложению Proposition 2, $||\m{a}||_1 = 0$, т. е. $\m{a} = 0$. Но $\lim_{k \to \infty} ||\m{y}_{N_k}|| = ||a||$, тогда $||\m{a}|| = 1$, потому что все $||y_{N_k}|| = 1$, а значит, $\m{a} \ne 0$, что даёт противоречие.