Нормированные пространства - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Напомним, что когда говорим о векторных пространствах, мы всегда имеем в виду векторные пространства (конечной или бесконечной размерности) над полем действительных чисел или над полем комплексных чисел.

Definition 1

Норма в векторном пространстве $E$ есть отображение^[1] пространства $E$ в $\mathbb{R}_{\ge 0}$ , обладающее следующими свойствами:

если $||x|| = 0$ , то $x =0$ — нулевой вектор.
$||\lambda x || = |\lambda| ||x ||$ для любого $x \in E$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ .
$|| x+ y || \le ||x|| + ||y||$ для любых $x,y \in E$ (неравенство треугольника).

Нормированным пространством называется такое векторное пространство, в котором задана норма.

Из определения сразу вытекает следующее:

Очевидно, что эквивалентность норм есть отношение эквивалентности.

Proof

Во-первых, имеем $||x-y|| = || (-1)(y-x)|| = |-1| \cdot ||y-x|| = ||y-x||$ . Во-вторых, имеем

||x|| = ||(x-y)+y) || \le ||x-y|| + ||y|| \Longleftarrow ||x|| - ||y|| \le ||x-y||,

(3)

||y|| = ||(y-x) +x|| \le ||y-x|| + ||x|| \Longleftarrow ||x|| - ||y|| \ge - ||x-y||,

(4)

тогда получаем

- ||x-y|| \le ||x|| - ||y|| \le ||x-y|| \Longleftarrow \left| ||x|| - ||y|| \right| \le ||x-y||.

(5)

Proof

Так как $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ , то для любого $\varepsilon >0$ найдётся такой $N$ , что $||x_n - a|| < \varepsilon$ для всех $n >N$ . Тогда по лемме Lemma 1,

\Bigl| ||x_n|| - ||a|| \Bigr| \le ||x_n - a|| < \varepsilon

(6)

для всех $n>N$ , что и доказывает предложение.

Proof

Так как эквивалентность норм есть отношение эквивалентности, то достаточно показать, что любая норма $||?||_1$ эквивалентна евклидовой норме $||?||.$

(1) Пусть $\m{x} \in \mathbb{R}^n$ , тогда $\m{x} = x_1 \m{e}_1 + \cdots + x_n \m{e}_n$ , тогда

||x||_1 = || x_1 \m{e}_1 + \cdots + x_n \m{e}_n || \le |x_1| \cdot ||\m{e}_1||_1 + \cdots + |x_n| \cdot ||\m{e}_n||_1,

(7)

так как $|x_i| \le \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ для каждого $1\le i \le n$ , то мы получили

||\m{x}||_1 \le (||\m{e}_1||_1 + \cdots + ||\m{e}_n||_1) || \m{x} ||.

(8)

(2) Будем рассуждать от противного. Пусть не существует такого числа $c$ , что $||\m{x}|| \le c ||\m{x}||_1$ . Это значит, что для любого натурального $N \in \mathbb{N}$ найдётся $x_N \ne 0$ такой, что $||x_N|| > N ||x_N||_1$ . С другой стороны, для любого $\lambda \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ , $||\lambda x_N|| > N || \lambda x_N||_1$ .

Пусть $\m{y}_N: = \frac{\m{x}_N}{||\m{x}_N||}$ , тогда $||\m{y}_N|| > N ||y_N||_1$ , и так как $||y_N|| = 1$ , получаем, что $||y_N||_1 < \frac{1}{N}$ . Это значит, что $\lim_{N \to \infty} ||y_N||_1 = 0.$

Далее, мы получаем последовательность $(\m{y}_N)$ , для которой $||y_{N}|| =1$ , то есть все $y_N$ лежат в шаре $B(0,r) \subseteq (\mathbb{R}^n, ||?||)$ , $r>1$ , т. е. она ограничена по норме $||?||.$ Тогда по обобщённой теореме Больцано—Вейерштрасса (Теорема Theorem 1) найдётся сходящаяся подпоследовательность $(\m{y}_{N_k})$ , $\lim_{N_k \to \infty} \m{y}_{N_k} = \m{a}$ .

Мы уже показали, что $||y_{N_k} - \m{a}||_1 \le c || y_{N_k} - \m{a}||$ , но это значит, что тогда последовательность $(y_{N_k})$ также сходится к $\m{a}$ и по норме $||?||_1.$ С другой стороны, мы уже показали, что $\lim_{N \to \infty} ||y_N||_1 = 0$ , тогда по Предложению Proposition 2, $||\m{a}||_1 = 0$ , т. е. $\m{a} = 0$ . Но $\lim_{k \to \infty} ||\m{y}_{N_k}|| = ||a||$ , тогда $||\m{a}|| = 1$ , потому что все $||y_{N_k}|| = 1$ , а значит, $\m{a} \ne 0$ , что даёт противоречие.

Footnotes¶

обычно записываемое в виде $x \mapsto || x||$ , причём, если потребуется, знак $|| ? ||$ сопровождается индексами.
↩

Анализ в ℝⁿ

Произведение метрических пространств и арифметика предела.

Анализ в ℝⁿ

o-символика Ландау и бесконечно малые функции