3.0 Вводные замечания и мотивировка

Мы начнём с рассмотрения подмножеств на числовой прямой $\mathbb{R}^1$. Напомним, что пределом последовательности $(a_n)$ называется число $a \in \mathbb{R}$, для которого верно следующее: для любого $\varepsilon >0$ найдётся такое $N$, что все $a_{N+1}, a_{N+2}, \ldots,$ принадлежат интервалу $(a -\varepsilon, a+\varepsilon).$

Таким образом, $\overline{A}$ — это множество всех предельных точек множества $A$ и само множество $A$.

Итак, мы видим, что если задано какое-либо множество $A$ действительных чисел, то о каждом действительном числе $x\in \mathbb{R}$ можно сказать, что оно либо является предельным для $A$, либо нет. К тому же мы можем найти его замыкание используя его предельные точки.

Рассмотрим теперь обратную задачу, т.е. давайте в терминах замыкания сформулируем понятие предельной точки.

Итак, допустим, что для любого множества $A \subseteq \mathbb{R}$ мы знаем его замыкание $\overline{A}$. Если точка $x$ не принадлежит множеству $A$, то она будет предельной для этого множества, если и только если $x \in \overline{A}$ (ведь $\overline{A}$ и есть по определению множество всех предельных точек множества $A$).

Однако в случае, когда $x \in A$, этого критерия ($x\in \overline{A}$) уже недостаточно. Например, если $A = (0,1]\cup \{2\}$, то легко видеть, что $\overline{A} = [0,1]\cup \{2\}$. Но точка 2 не является предельной, ведь уже интервал $(1.9, 2.1)$ не пересекается c $(0,1] = A\setminus \{2\}$.

Но, если $x \in A$ и $x$ — предельная для $A$, то она предельная и для $A \setminus \{x\}$, то есть $x \in \overline{A \setminus \{x\}}.$

Итак, окончательно,

Аксиоматизируя понятие замыкания, мы приходим к понятию топологического пространства.