Skip to article frontmatterSkip to article content

Абсолютно, условно и безусловно сходящееся ряды

Higher School of Economics

Мы видели, что в отношении положительных рядов (а значит, и для отрицательных тоже), характер сходимости, по большей части, устанавливается нетрудно, благодаря наличию ряда удобных признаков.

Поэтому существенно новым случаем будет тот, когда среди элементов ряда есть бесконечное число отрицательных элементов. Мы уже познакомились со случаем, когда знаки элементов чередуются. Тут же мы займёмся более общим вопросом.

Начнём с простого, но очень важного наблюдения.

Proof

Последовательность частичных сумм ряда (xn)(x_n) мы, как обычно, обозначим через (Sn)(\mathsf{S}_n), а последовательность частичных суммы для ряда (∣xn∣)(|x_n|) мы обозначим через (An)(\mathsf{A}_n).

Так как ряд (∣xn∣)(|x_n|) сходится, то по критерию Коши Theorem 1 мы для каждого ε>0\varepsilon >0 можем найти такое NN, что для всех n≥Nn \ge N и p≥1p \ge 1,

∣An+p−An∣=∣xn+1∣+⋯+∣xn+p∣<ε. | \mathsf{A}_{n+p} - \mathsf{A}_{n} | = |x_{n+1} | + \cdots +|x_{n+p}| < \varepsilon.
(1)

Далее, имеем

Sn+p−Sn=∣xn+1+⋯+xn+p∣≤∣xn+1∣+⋯+∣xn+p∣<ε,\begin{align*} \mathsf{S}_{n+p} - \mathsf{S}_n &=& | x_{n+1} + \cdots + x_{n+p} | \\ &\le & |x_{n+1}| + \cdots + |x_{n+p}| \\ &<& \varepsilon, \end{align*}
(2)

что согласно критерию Коши Theorem 1 означает сходимость ряда (xn).(x_n).

Таким образом, оправдано введение следующего понятия

Proof

Во-первых, из Леммы Theorem 1 следует корректность утверждения, ибо ряд (xn)(x_n) сходится, а тогда последовательность его частичных сумм (Sn)(\mathsf{S}_n) имеет предел S.\mathsf{S}.

Во-вторых, так как xn+≤∣xn∣x_n^+ \le |x_n| и xn−≤∣xn∣x_n^- \le |x_n|, то по признаку сравнения Corollary 1 ряды (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-) сходятся, а значит, сходятся последовательности их частичных сумм (Sn+)(\mathsf{S}_n^+), (Sn−)(\mathsf{S}_n^-) к S+\mathsf{S}^+, S−\mathsf{S}^- соответственно.

Далее, так как из конструкции Proposition 1 следует, что xn=xn+−xn−x_n = x_n^+- x_n^-, но тогда для каждого nn получаем

Sn=x1+⋯+xn=x1+−x1−+⋯+xn+−xn−=(x1++⋯+xn+)−(x1−+⋯+xn−)=Sn+−Sn−.\begin{align*} \mathsf{S}_n &=& x_1 + \cdots + x_n \\ &=& x_1^+ - x_1^- + \cdots + x_n^+ - x_n^- \\ &=& \left( x_1^+ + \cdots + x_n^+ \right) - \left(x_1^- + \cdots + x_n^- \right) \\ &=& \mathsf{S}_n^+ - \mathsf{S}_n^-. \end{align*}
(5)

Тогда по теореме Theorem 1,

S=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞(Sn+−Sn−)=lim⁡n→∞Sn+−lim⁡n→∞Sn−=S+−S−, \mathsf{S} = \lim_{n \to \infty} \mathsf{S}_n = \lim_{n\to \infty}(\mathsf{S}_n^+ - \mathsf{S}_n^-) = \lim_{n\to \infty} \mathsf{S}_n^+ - \lim_{n\to \infty}\mathsf{S}_n^- = \mathsf{S}^+ - \mathsf{S}^-,
(6)

что и требовалось доказать.

Proof

Пусть ряд (xn)(x_n) сходится абсолютно, рассмотрим ряды (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-) (конструкция Proposition 1), очевидно, что xn=xn+−xn−x_n = x_n^+ - x_n^- для всех n.n. Так как ряд (xn)(x_n) сходится абсолютно, то ввиду xn+≤∣xn∣x_n^+ \le |x_n|, xn−≤∣xn−∣x_n^- \le |x_n^-| и признака сравнения (теорема Corollary 1) ряды (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-) тоже сходятся.

Пусть ряд, полученный после перестановки исходного ряда, имеет вид (yn)(y_n), рассмотрим также ряды (yn+)(y_n^+), (yn−)(y_n^-) (Конструкция Proposition 1), тогда yn=yn+−yn−y_n = y_n^+ - y_n^-, и мы получаем

S=S+−S−S=∑n=1∞xn+−∑n=1∞xn−S=∑n=1∞yn+−∑n=1∞yn−S=∑n=1∞(yn+−yn−)S=∑n=1∞yn.\begin{align*} & \mathsf{S} = \mathsf{S}^+ - \mathsf{S}^- & \\ & \phantom{\mathsf{S}} = \sum_{n=1}^\infty x_n^+ - \sum_{n=1}^\infty x_n^- \\ & \phantom{\mathsf{S}} = \sum_{n=1}^\infty y_n^+ - \sum_{n=1}^\infty y_n^- & \\ & \phantom{\mathsf{S}} = \sum_{n=1}^\infty (y_n^+ - y_n^-) & \\ & \phantom{\mathsf{S}} = \sum_{n=1}^\infty y_n. \end{align*}
(7)

(по предложению Proof), (по теореме Theorem 3) и (по предложению Proposition 1), соответственно.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы показали, что в абсолютно сходящемся ряду совершенно не важен порядок его элементов, т.е. любая перестановка его элементов не нарушает его сходимость и более того, его сумма остаётся прежней. Но будет ли такой же эффект, если ряд не сходится абсолютно? Как показал Б. Риман, это неверно. Поэтому оправданна следующая терминология.

Прежде чем перейти к теореме Римана, докажем следующее утверждение.

Proof

(1) Действительно, если ряд (xn)(x_n) сходится абсолютно, то, так как xn+≤∣xn∣x_n^+ \le |x_n| и xn−≤∣xn∣x_n^- \le |x_n|, и по признаку сравнения Corollary 1 ряды (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-) сходятся.

(2) Пусть теперь для ряда (xn)(x_n) ряды (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-) сходятся. Но, так как (см. конструкция Proposition 1), ∣xn∣=xn++xn−|x_n| = x_n^+ + x_n^-, то для любого nn, An=Sn++Sn−\mathsf{A}_n = \mathsf{S}_n^+ + \mathsf{S}_n^-, где An\mathsf{A}_n, Sn+\mathsf{S}_n^+, Sn−\mathsf{S}_n^- — частичные суммы рядов (∣xn∣)(|x_n|), (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-), соответственно. Откуда следует сходимость последовательности (An)(\mathsf{A}_n). Тем самым мы завершаем доказательство.

Proof

Пусть ряд (xn)(x_n) сходится, но не абсолютно, т.е. ряд (∣xn∣)(|x_n|) расходится. Так как ∣xn∣=xn++xn−|x_n| = x_n^+ + x_n^-, то An=Sn++Sn−\mathsf{A}_n = \mathsf{S}_n^+ + \mathsf{S}_n^-, где An\mathsf{A}_n, Sn+\mathsf{S}_n^+, Sn−\mathsf{S}_n^- — частичные суммы рядов (∣xn∣)(|x_n|), (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-), соответственно. Тогда из расходимости последовательности (An)(\mathsf{A}_n) вытекает, что хотя бы одна из последовательностей (Sn+)(\mathsf{S}_n^+), (Sn−)(\mathsf{S}_n^-) расходится. Если они обе расходится, то предложение доказано.

Пусть расходится последовательность (Sn+)(\mathsf{S}_n^+). Так как xn=xn+−xn−x_n = x_n^+ - x_n^- (см. конструкцию Proposition 1), то Sn=Sn+−Sn−\mathsf{S}_n = \mathsf{S}_n^+ - \mathsf{S}_n^-.

Тогда

Sn−=Sn+−Sn, \mathsf{S}_n^- = \mathsf{S}_n^+ - \mathsf{S}_n,
(8)

но так как lim⁡n→∞Sn=S\lim_{n \to \infty} \mathsf{S}_n = \mathsf{S}, то согласно лемме , последовательность (Sn)(\mathsf{S}_n) — ограничена, скажем, L≤Sn≤RL \le \mathsf{S}_n \le R. С другой же стороны, так как (xn+)(x_n^+) — положительный расходящийся ряд, то согласно Теореме Theorem 1, последовательность (Sn+)(\mathsf{S}_n^+) — неограниченна. Это значит, что для любого числа NN можно найти такой номер nn, что Sn+>N+L\mathsf{S}_n^+ >N+L, а тогда Sn−>N+L−L=N\mathsf{S}_n^- > N+L-L =N, т.е. для любого NN мы нашли номер nn такой, что Sn−>N\mathsf{S}_n^- >N, это означает, что последовательность (Sn−)(\mathsf{S}_n^-) неограниченна, а тогда по теореме Theorem 1, ряд (xn−)(x_n^-) — расходится.

Аналогично рассматривается случай, когда расходится ряд (xn−)(x_n^-).

Наконец, так как ряд (xn)(x_n) сходится, то по необходимому признаку (см. следствие ), lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0, а из того, что (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-) подпоследовательности в последовательности (xn)(x_n), то из теоремы Theorem 1 получаем, что lim⁡n→∞xn+=lim⁡n→∞xn−=0.\lim_{n \to \infty} x_n^+ = \lim_{n \to \infty} x_n^- = 0. Это завершает доказательство.

Теперь мы докажем замечательную теорему, которая показывает как сильно отличается условно сходящийся ряд от абсолютно сходящегося.

Proof

Для ряда (xn)(x_n) мы рассмотрим ряды (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-) (см. конструкцию Proposition 1). Согласно предложению , ряды (xn+)(x_n^+), (xn−)(x_n^-) расходятся. Это значит, что последовательности их частичных сумм неограничены (см. теорема Theorem 1), т.е. их значения могут быть больше любого числа.

Пусть p1p_1 — наименьшее натуральное число (=номер последовательности (xn+)(x_n^+)) такое, что

α<x1++⋯+xp1+=∑i=1p1xi+, \alpha < x_1^+ + \cdots + x_{p_1}^+ = \sum_{i=1}^{p_1}x_i^+,
(9)

далее, пусть q1q_1 — наименьшее натуральное число (=номер последовательности (xn−)(x_n^-)) такое, что

α>∑i=1p1xi+−∑j=1q1xj−. \alpha > \sum_{i=1}^{p_1} x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_1} x_j^-.
(10)

Пусть теперь p2p_2 есть наименьшее натуральное число (=номер последовательности (xn+)(x_n^+)), большее, чем p1p_1, такое, что

α<∑i=1p1xi+−∑j=1q1xj−+∑i=p1+1p2xi+=∑i=1p2xi+−∑j=1q1xj−.\begin{align*} \alpha &<& \sum_{i=1}^{p_1} x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_1} x_j^- + \sum_{i={p_1}+1}^{p_2}x_i^+\\ &=& \sum_{i=1}^{p_2} x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_1} x_j^- . \end{align*}
(11)

Потом мы выбираем такое наименьшее натуральное q2q_2 (=номер последовательности (xn−)(x_n^-)) большее, чем q1q_1, чтобы было верно неравенство

α>∑i=1p2xi+−∑j=1q1xj−−∑j=q1+1q2xj−=∑i=1p2xi+−∑j=q1+1q2xj−.\begin{align*} \alpha &>& \sum_{i=1}^{p_2} x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_1} x_j^- - \sum_{j={q_1}+1}^{q_2}x_j^-\\ &=& \sum_{i=1}^{p_2} x_i^+ - \sum_{j={q_1}+1}^{q_2}x_j^-. \end{align*}
(12)

Продолжая таким образом, мы получаем последовательность номеров p1,q1,…,pk,qk,…,p_1, q_1,\ldots, p_k,q_k,\ldots, и новую последовательность

(xn′)=x1+,…,xp1+,x1−,…,xq1−,xp1+1+,…,xp2+,xq1+1−,…,xq2−,…, (x_n') = x_1^+, \ldots, x_{p_1}^+, x_1^-, \ldots, x_{q_1}^-, x_{p_1+1}^+, \ldots, x_{p_2}^+, x_{q_1+1}^-, \ldots, x_{q_2}^-, \ldots,
(13)

при этом, если числа p1,q1,…,pk,qkp_1,q_1, \ldots, p_k, q_k выбраны, то мы имеем

α>∑i=1pkxi+−∑j=1qkxj− \alpha > \sum_{i=1}^{p_k} x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k} x_j^-
(14)

и тогда мы подбираем pk+1p_{k+1} как наименьшее натуральное число, большее, чем pkp_k так, чтобы

α<∑i=1pkxi+−∑j=1qkxj−+∑i=pk+1pk+1xi+=∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−, \alpha < \sum_{i=1}^{p_k}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k} x_j^- + \sum_{i=p_k+1}^{p_{k+1}} x_i^+ = \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^-,
(15)

но тогда (в силу условия минимальности на выбор числа pk+1p_{k+1}) имеем

α≥∑i=1pkxi+−∑j=1qkxj−+∑i=pk+1pk+1−1xi+=∑i=1pk+1−1xi+−∑j=1qkxj−. \alpha \ge \sum_{i=1}^{p_k}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k} x_j^- + \sum_{i=p_k+1}^{p_{k+1}-1} x_i^+ = \sum_{i=1}^{p_{k+1}-1}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^-.
(16)

Итак, мы получаем

∑i=1pk+1−1xi+−∑j=1qkxj−≤α<∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−. \sum_{i=1}^{p_{k+1}-1}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^- \le \alpha < \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^-.
(17)

Из полученных неравенств вычтем сумму ∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−\sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^-, тогда получаем

(∑i=1pk+1−1xi+−∑j=1qkxj−)−(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−)≤α−(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−)<0. \left(\sum_{i=1}^{p_{k+1}-1}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^-\right) - \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^- \right) \le \alpha - \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^- \right) < 0.
(18)

откуда получаем

−xpk+1+≤α−(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−)<0,- x_{p_k+1}^+ \le \alpha - \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^- \right) < 0,
(19)

или

0<(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−)−α≤xpk+1+.0 < \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^- \right) - \alpha \le x_{p_k+1}^+.
(20)

Далее, согласно предложению , lim⁡k→∞xpk+1+=0\lim_{k \to \infty}x_{p_k+1}^+ = 0, то по лемме о зажатой последовательности (см. лемма Lemma 1) и предложению Proposition 1 получаем, что

lim⁡k→∞(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−)=α.\boxed{ \lim_{k\to \infty} \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^- \right) = \alpha. }
(21)

С другой стороны, если числа p1,…,pk,qk,pk+1p_1,\ldots, p_k,q_k,p_{k+1} выбраны, то

α<∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−, \alpha < \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_k}x_j^-,
(22)

и тогда qk+1q_{k+1} мы выбираем как наименьшее натуральное число такое, что

α>∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−−∑j=qk+1qk+1xj−=∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1xj−, \alpha > \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_k}x_j^- - \sum_{j=q_{k+1}}^{q_{k+1}} x_j^- = \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^-,
(23)

а тогда получаем

α≤∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1−1xj−. \alpha \le \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}-1}x_j^-.
(24)

Мы получаем неравенства

∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1xj−<α≤∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1−1xj−, \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^- < \alpha \le \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}-1}x_j^-,
(25)

вычитая сумму ∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1xj−\sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^- из каждого неравенства, мы получаем

0<α−(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1xj−)≤(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1−1xj−)−(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1xj−), 0 < \alpha - \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^- \right) \le \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}-1}x_j^-\right) - \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^-\right),
(26)

откуда вытекает

0<α−(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1xj−)≤xqk+1−. 0 < \alpha - \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}} x_i^+- \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^- \right) \le x_{q_{k+1}}^-.
(27)

А тогда, согласно предложению , lim⁡k→∞xpk+1+=0\lim_{k \to \infty}x_{p_k+1}^+ = 0, то по лемме о зажатой последовательности (см. лемма Lemma 1) и предложению Proposition 1 получаем, что

lim⁡k→∞(∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1xj−)=α.\boxed{ \lim_{k\to \infty} \left( \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^- \right) = \alpha. }
(28)

Но по построению, все частичные суммы ряда

(xn′)=x1+,…,xp1+,x1−,…,xq1−,xp1+1+,…,xp2+,xq1+1−,…,xq2−,…, (x_n') = x_1^+, \ldots, x_{p_1}^+, x_1^-, \ldots, x_{q_1}^-, x_{p_1+1}^+, \ldots, x_{p_2}^+, x_{q_1+1}^-, \ldots, x_{q_2}^-, \ldots,
(29)

имеют либо вид ∑i=1pk+1xi+−∑j=1qkxj−\sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_k}x_j^- либо ∑i=1pk+1xi+−∑j=1qk+1xj− \sum_{i=1}^{p_{k+1}}x_i^+ - \sum_{j=1}^{q_{k+1}}x_j^-, а тогда из уравнений (=a}), (=a}) вытекает, что сумма ряда (xn′)(x_n') есть α.\alpha.

Начало теории рядов
Знакочередующиеся ряды
Интегрирование линейных дифференциальных форм
Линейные дифференциальные формы