Полином Тейлора от одной переменной - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Рассмотрим полином $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ . Говорят, что полином $P(x)$ разложен в точке $a$ по степеням $(x-a)$ , если существуют такие $c_0, c_1, \ldots, c_n$ , где $n = \mathrm{deg}(P(x))$ , что $P(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n$ .

Нетрудно видеть, что эти коэффициенты можно найти следующим образом

c_0 = P(a), \quad c_1 = P'(a), \quad c_2 = \frac{1}{2}P''(a), \quad c_3 = \frac{1}{6}P'''(a), \ldots, c_n = \frac{1}{n!}P^{(n)}(a).

(1)

Таким образом, получаем

P(x) = P(a) + P'(a)(x-a) + \frac{1}{2} P''(a)(x-a)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}P^{(n)}(a)(x-a)^n.

(2)

Proof

Пусть $r(x): = f(x) - T_f(x)$ , очевидно, что $r(a) = r'(a) = \cdots = r^{(n)}(a) = 0$ . По правилу Лопиталя Theorem 1

\begin{align*} \lim_{x \to a} \frac{r(x)}{(x-a)^n} &=& \lim_{x \to a} \frac{r'(x)}{n(x-a)^{n-1}} \\ &=& \lim_{x \to a} \frac{r''(x)}{n(n-1)(x-a)^{n-2}} = \cdots \\ &=& \lim_{x \to a} \frac{r^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)} \end{align*}

(5)

Дальше правило Лопиталя применять вообще говорят нельзя, так как по условию известно, что существует лишь $f^{(n)}(a)$ , а в окрестности она может не существовать.

Воспользуемся теперь определением, получаем

r^{(n)}(x) = \lim_{x \to a} \frac{r^{(n-1)}(x) - r^{(n-1)}(a)}{(x-a)} = \lim_{x \to a} \frac{r^{(n-1)}(x)}{(x-a)},

(6)

потому что $r^{(n-1)}(a) = 0$ , но тогда

\lim_{x \to a} \frac{r^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)} = \lim_{x \to a} \frac{r^{(n)}(x)}{n!} = 0,

(7)

что и доказывает требуемое.

Theorem 2 (Общий вид остаточного монома)

Пусть $f$ есть $n$ раз дифференцируема в каждой точке отрезка $[a,x]$ , функция $f^{(n)}$ непрерывна на $[a,x]$ и дифференцируема на интервале $(a,x)$ . Пусть $g(x)$ непрерывна на $[a,x]$ и дифференцируема на $(a,x)$ , причём $g\ne 0$ на $(a,x)$ . Тогда существует такое $c\in (a,x)$ , что

f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + r_n(x,a),

(8)

где

r_n(x,a) = \frac{1}{n!}\frac{f^{(n+1)}(c)}{g'(c)}\bigl(g(x) - g(a)\bigr)(x-c)^n.

(9)

Proof

Пусть

\begin{align*} \psi(t) &:=& f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k \\ &=& f(x) - \left(f(t) + f'(t)(x-t) + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(t)(x-t)^n \right) \end{align*}

(10)

где $a \le t \le x$ .

Тогда

\psi(x) = 0, \qquad \psi(a) = f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,

(11)

т.е., $r_n(x,a) = \psi(a)$ .

Согласно условиям, $\psi(t)$ дифференцируема на $[a,x]$ , тогда по теореме Коши Theorem 7, существует такое $c \in (a,x)$ , что

\frac{\psi(x)-\psi(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{\psi'(c)}{g'(c)},

(12)

тогда

\psi(a) = - \frac{\psi'(c)}{g'(c)}(g(x) - g(c))

(13)

поэтому

r_n(x,a)= - \frac{\psi'(c)}{g'(c)}(g(x) - g(c)).

(14)

Имеем

\begin{align*} \psi'(t) &= & - \left( f(t) + f'(t)(x-t) + \frac{1}{2!}f''(t)(x-t)^2 + \frac{1}{3!}f'''(t)(x-t)^3 + \cdots \frac{1}{n!}f^{(n)}(t) (x-t)^n \right)' \\ &=& -f'(t) \\ && - f''(t)(x-t) + f'(t) \\ && - \frac{1}{2!}f'''(t)(x-t)^2 + f''(t)(x-t) \\ && - \frac{1}{3}f^{(4)}(x-t)^3 + \frac{1}{3!}f'''(t)(x-t)^3 \\ && \cdots - \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \\ &=& - \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n. \end{align*}

(15)

Таким образом,

r_n(x,a) =\frac{1}{n!}\frac{f^{(n+1)}(c)}{g'(c)}\bigl(g(x) - g(a)\bigr)(x-c)^n,

(16)

что и требовалось доказать.

Proof

Нужно положить $g(x) = x-t$ в теореме Theorem 2.

Proof

Нужно положить $g(x) = (x-t)^{n+1}.$

Анализ в ℝⁿ

Дифференциалы высокого порядка

Анализ в ℝⁿ

Высшие дифференциалы