Дифференциалы высокого порядка - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Пусть дана функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ такая, что в открытом $\mathscr{U}$ у неё существуют все её частные производные $f_{x_i}' = \frac{\partial f}{\partial x_i}$ . Пусть далее $\mathscr{V} \subseteq \mathscr{U}$ открыто, и пусть всюду в $\mathscr{V}$ её частные производные дифференцируемы, тогда мы получаем:

Proof

Пусть $\m{a} = (a_1,a_2)^\top$ , тогда, по определению ((2)),

\begin{align*} \left. \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_\m{a} &=& \left. \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \right|_\m{a} \\ &=& \lim_{t \to 0} \left( \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(a_1+t, a_2) - \frac{\partial f}{\partial y}(a_1,a_2) }{t} \right) \\ &=& \lim_{t \to 0}\left( \frac{ \lim\limits_{s\to 0} \dfrac{f(a_1+t, a_2 +s) -f(a_1+t,a_2)}{s} - \lim\limits_{s\to 0} \dfrac{f(a_1,a_2+s) -f(a_1,a_2)}{s} } {t} \right) \\ &=& \lim_{t\to 0} \lim_{s \to 0} \dfrac{f(a_1+t, a_2 +s) -f(a_1+t,a_2) - f(a_1,a_2+s) +f(a_1,a_2)}{ts} \\ &=&\lim_{t\to 0} \lim_{s \to 0} \frac{\Phi(t,s)}{ts}, \end{align*}

где

\Phi(t,s):= f(a_1+t, a_2 +s) -f(a_1+t,a_2) - f(a_1,a_2+s) +f(a_1,a_2).

Аналогично, получаем

\left. \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\right|_\m{a} = \lim_{s\to 0} \lim_{t \to 0} \frac{\Phi(t,s)}{ts}.

Пусть

\begin{align*} u(\tau) &: =& f(a_1 + \tau, a_2 + s) - f(a_1+ \tau, a_2), \qquad (a_1 + \tau, a_2) \in \mathscr{U} ,\\ v(\sigma) &: =& f(a_1 + t, a_2 + \sigma) - f(a_1, a_2+\sigma), \qquad (a_1, a_2+\sigma) \in \mathscr{U} , \end{align*}

тогда

\Phi(t,s) = u(t) - u(0) = v(s) - v(0).

Далее, так как по условию, $f$ имеет смешанные производные, значит она имеет и частные производные, а это значит, что $u(\tau)$ , $v(\sigma)$ — дифференцируемы на отрезках $[0,t]$ и $[0,s]$ , соответственно. Тогда, по теореме Лагранжа Theorem 6 найдутся такие $\tau_0 \in (0, t)$ и $\sigma_0 \in (0, s)$ , что

\begin{align*} \Phi(t,s) &=& u(t) - u(0) = u'(\tau_0)t,\\ \Phi(t,s) &=& v(s) - v(0) = v'(\sigma_0)s. \end{align*}

С другой стороны,

\begin{align*} u'(\tau_0) &=& \frac{\partial}{ \partial x}\Bigl( f(a_1 + \tau_0, a_2 + s) - f(a_1+ \tau_0, a_2)\Bigr) \\ &=& f'_x(a_1 + \tau_0, a_2 + s) - f'_x(a_1+ \tau_0, a_2). \end{align*}

Аналогично, находим

\begin{align*} v'(\sigma_0) &=& \frac{\partial}{ \partial y}\Bigl( f(a_1+t, a_2 + \sigma_0) - f(a_1, a_2+\sigma_0)\Bigr) \\ &=& f'_y(a_1 + t, a_2 + \sigma_0) - f'_x(a_1, a_2+\sigma_0). \end{align*}

Пусть теперь

\begin{align*} w(\alpha) &:=& f'_y(a_1 + \alpha, a_2 + \sigma_0), \qquad 0 \le \alpha \le t \\ g(\beta) &: =& f'_x(a_1 + \tau_0, a_2 + \beta), \qquad 0 \le \beta \le s. \end{align*}

Тогда

\begin{align*} w(t)- w(0) &=& f'_y(a_1 + t, a_2 + \sigma_0) - f'_x(a_1, a_2+\sigma_0)= v'(\sigma_0),\\ g(s) - g(0) &=& f'_x(a_1 + \tau_0, a_2 + s) - f'_x(a_1+ \tau_0, a_2) = u'(\tau_0). \end{align*}

По условию, $f$ имеет смешанные частные производные на $\mathscr{U}$ , тогда это значит, что $w$ и $g$ дифференцируемы на отрезках $[0,t]$ и $[0,s]$ соответственно. Тогда по теореме Лагранжа Theorem 6, существуют такие $\alpha_0 \in (0,t)$ и $\beta_0 \in (0,s)$ , что

\begin{align*} w(t)- w(0) &=& w'(\alpha_0) t = f''_{xy}(a_1+\alpha_0, a_2+\sigma_0)ts,\\ g(s) -g(0) &=& g'(\beta_0)s = f''_{yx}(a_1 + \tau_0,a_2+\beta_0)ts. \end{align*}

Таким образом, получаем

\begin{align*} \Phi(t,s) &=& u'(\tau_0)t \\ &=& (g(s) - g(0))t \\ &=& g'(\beta_0)ts \\ &=& f''_{yx}(a_1 + \tau_0,a_2+\beta_0)st \end{align*}

\begin{align*} \Phi(t,s) &=& v'(\sigma_0)s \\ &=& (w(t) - w(0))s \\ &=& w'(\alpha_0)st \\ &=& f''_{xy}(a_1 + \alpha_0,a_2+\sigma_0)st. \end{align*}

Ясно, что если $t,s \to 0$ то и $\alpha_0, \beta_0, \tau_0, \sigma_0 \to 0$ , но тогда из-за предположения о непрерывности смешанных производных получаем

\begin{align*} \lim_{t\to 0} \lim_{s \to 0} \frac{\Phi(t,s)}{ts} &=& \lim_{t\to 0} \lim_{s \to 0} f''_{xy}(a_1 + \alpha_0,a_2+\sigma_0) \\ &=& \lim_{t \to 0} f''_{xy}(a_1 + \alpha_0,a_2) \\ &=& f''_{xy}(a_1,a_2), \end{align*}

\begin{align*} \lim_{s\to 0} \lim_{t \to 0} \frac{\Phi(t,s)}{ts} &=& \lim_{s\to 0} \lim_{t \to 0}f''_{yx}(a_1 + \tau_0,a_2+\beta_0)\\ &=& \lim_{s\to 0}f''_{yx}(a_1,a_2+\beta_0) \\ &=& f''_{yx}(a_1,a_2), \end{align*}

что и доказывает утверждение.

Proof

Сохраним те же обозначения, как и в доказательстве предыдущей теоремы и рассмотрим

\Phi(t,t):= f(a_1+t, a_2 +t) -f(a_1+t,a_2) - f(a_1,a_2+t) +f(a_1,a_2).

Повторим те же рассуждения, что и в предыдущем доказательстве.

Пусть

\begin{align*} u(\tau) &: =& f(a_1 + \tau, a_2 + t) - f(a_1+ \tau, a_2), \qquad (a_1 + \tau, a_2) \in \mathscr{U} ,\\ v(\tau) &: =& f(a_1 + t, a_2 + \tau) - f(a_1, a_2+\tau), \qquad (a_1, a_2+\sigma) \in \mathscr{U} , \end{align*}

тогда

\Phi(t,t) = u(t) - u(0) = v(t) - v(0).

Далее, так как по условию $f$ имеет смешанные производные, значит, она имеет и частные производные, а это значит, что $u(\tau)$ , $v(\tau)$ дифференцируемы на отрезке $[0,t]$ . Тогда по теореме Лагранжа Theorem 6 найдётся такое $\tau_0 \in (0, t)$ , что

\begin{align*} \Phi(t,t) &=& u(t) - u(0) = u'(\tau_0)t,\\ \Phi(t,t) &=& v(t) - v(0) = v'(\tau_0)t. \end{align*}

По условию $f'_x$ , $f'_y$ дифференцируемы в окрестности точки $\m{a}$ , тогда

\begin{align*} f'_x(\m{a} + \m{h}) &=& f'_x(\m{a}) + (\mathrm{d}f_x')_\m{a} \m{h} + o(\m{h}), \\ f'_y(\m{a} + \m{h}) &=& f'_y(\m{a}) + (\mathrm{d}f_y')_\m{a} \m{h} + o(\m{h}), \end{align*}

при $\m{h} \to \m{0}.$

Тогда получаем

\begin{align*} u'(\tau_0) &=& f'_x(a_1 + \tau_0, a_2 + t) - f'_x(a_1+ \tau_0, a_2) \\ &=& f'_x(a_1,a_2) + \begin{pmatrix} f''_{xx}(a_1,a_2) & f''_{xy}(a_1,a_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tau_0 \\ t \end{pmatrix} + \omega_1(\tau_0, s) \sqrt{\tau_0^2 +t^2} \\ && - f_x'(a_1,a_2) - \begin{pmatrix} f''_{xx}(a_1,a_2) & f''_{xy}(a_1,a_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tau_0 \\ 0 \end{pmatrix} - \omega_2(\tau_0, 0) \sqrt{\tau_0^2 +0^2} \\ &=& f''_{xy}(a_1,a_2) t + \omega_1(\tau_0, t) \sqrt{\tau_0^2 +t^2}- \omega_2(\tau_0, 0) |\tau_0|. \end{align*}

Аналогично, получаем

\begin{align*} v'(\tau_0) &=& f'_y(a_1 + t, a_2 + \tau_0) - f'_y(a_1, a_2+\tau_0) \\ &=& f_y'(a_1, a_2) + \begin{pmatrix} f''_{yx}(a_1,a_2) & f''_{yy}(a_1,a_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ \tau_0 \end{pmatrix} + \omega_3(t,\tau_0)\sqrt{t^2 +\tau_0^2} \\ &&- f'_y(a_1,a_2) - \begin{pmatrix} f''_{yx}(a_1.a_2) & f''_{yy}(a_1,a_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \tau_0 \end{pmatrix} - \omega_4(0,\tau_0)|\tau_0| \\ &=& f''_{yx}(a_1,a_2)t + \omega_3(t,\tau_0)\sqrt{t^2 +\tau_0^2} - \omega_4(0,\tau_0)|\tau_0|. \end{align*}

Так как $\Phi(t,t) = u'(\tau_0)t = v'(\tau_0)t$ , то мы получаем

\Bigl( f''_{xy}(a_1,a_2) t + \omega_1(\tau_0, t) \sqrt{\tau_0^2 +t^2}- \omega_2(\tau_0, 0) |\tau_0| \Bigr) t = \Bigl( f''_{yx}(a_1,a_2)t + \omega_3(t,\tau_0)\sqrt{t^2 +\tau_0^2} - \omega_4(0,\tau_0)|\tau_0| \Bigr)t,

разделим обе части равенства на $t^2$

f''_{xy}(a_1,a_2) + \omega_1(\tau_0, t) \sqrt{1+ \left(\frac{\tau_0}{t}\right)^2}- \omega_2(\tau_0, 0) \frac{|\tau_0|}{t}= f''_{yx}(a_1,a_2) + \omega_3(t,\sigma_0)\sqrt{1 +\left(\frac{\sigma_0}{t}\right)^2} - \omega_4(0,\sigma_0)\frac{|\sigma_0|}{t},

Ввиду того, что $0 \tau_0 <t$ , то $\sqrt{t^2 + (\frac{\tau_0}{t})^2}$ , $\frac{\tau_0}{t}$ — ограниченные функции, и так как $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4 \in o(1)$ при $t \to 0$ , мы получаем равенство

f''_{xy}(a_1,a_2) = f''_{yx}(a_1,a_2),

что и требовалось доказать.

Definition 2

Пусть $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ — дифференцируема в окрестности точки $\m{a}$ . Говорят, что $f$ дважды дифференцируема в точке $\m{a}$ , если все её частные производные $f'_{x_i}$ дифференцируемы в точке $\m{a}$ .

Пусть $f$ — $m$ раз дифференцируема в окрестности точки $\m{a}$ . Говорят, что $f$ есть $m+1$ раз дифференцируемой в точке $\m{a}$ , если все частные производные $m$ -го порядка $\frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}$ дифференцируемы в точке $\m{a}$ .

Proof

Это следует из теоремы Юнга Theorem 2 с помощью индукции.

Анализ в ℝⁿ

Дифференциал композиции

Анализ в ℝⁿ

Полином Тейлора от одной переменной