Замкнутые множества, точки замыкания (=точки прикосновения), замыкание множества. - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Пустое множество замкнуто, замкнуто и всё пространство $E$ .

(1) Пусть $F$ — замкнуто, тогда найдётся какое-то открытое $\mathscr{U} \subseteq E$ , такое, что $F = E \setminus \mathscr{U}$ . Пусть $x \notin F$ , тогда $x \in \mathscr{U}$ , и тогда найдётся окрестность $\mathscr{W}(x)$ такая, что $\mathscr{W}(x) \subseteq \mathscr{U}$ , потому что $\mathscr{U}$ — открыто, т.е., $\mathscr{W}(x) \cap F = \varnothing.$ Таким образом, получили, что если $F$ — замкнуто, то никакая точка $x \notin F$ не может быть предельной для $F$ , т.е., $F = \overline{F}.$

(2) Пусть $F = \overline{F}$ , тогда для любой точки $x \notin F$ , можно всегда найти окрестность $\mathscr{W}(x)$ такую, что $\mathscr{W}(x) \cap F = \varnothing$ . Пусть $\mathscr{U}:= \cup_{x E\setminus F} \mathscr{W}(x)$ , тогда, $\mathscr{U}$ — открыто в $E$ и $F = E \setminus \mathscr{U}.$

Proof

Пусть $F'$ — замкнутое подмножество в $E'$ , тогда $\mathscr{U}': = E'\setminus F'$ — открыто в $E'$ и $E' = F' \cup \mathscr{U}'$ , $F' \cap \mathscr{U}' = \varnothing$ . Далее, ясно что $f^{-1}(F') \cap f^{-1}(\mathscr{U}') = \varnothing$ и $E = f^{-1}(F') \cap f^{-1}(\mathscr{U}')$ . Тогда согласно Теореме Theorem 1, $f$ — непрерывно если и только если $f^{-1}(\mathscr{U}')$ — открыто в $E$ , но тогда $f^{-1}(F') = E \setminus \mathscr{U}'$ замкнуто тогда и только тогда, когда $f^{-1}(\mathscr{U}')$ — открыто. Это завершает доказательство.

Proof

Пусть $(E,d)$ — метрическое пространство, $\bar B(a,r)$ — замкнутый шар. Покажем, что $E\setminus B(a,r)$ — открыто. Пусть $x\notin \bar B(a,r)$ , тогда $d(a,x) > r$ , и положим $\varepsilon: = d(a,x) - r$ , очевидно, что $\varepsilon >0$ . Имеем $d(x,a) \le d(y,a) + d(y,x)$ , тогда $d(y,a) \ge d(x,a) - d(y,x)$ .

Пусть теперь $y\in B(x, \frac{\varepsilon}{2})$ , тогда получаем

\begin{align*} d(y,a) &\ge & d(x,a) - d(y,x) \\ &\ge & r + \varepsilon- \frac{\varepsilon}{2}\\ &=& r + \frac{\varepsilon}{2}\\ &>& r \end{align*}

(2)

т.е. $y\notin \bar B(a,r)$ . А это означает, что весь открытый шар $B(x, \frac{\varepsilon}{2})$ не лежит в $\bar B(a,r)$ , что и требовалось доказать.

Метрические пространства

Подпространства метрического пространства