Обратим внимание, что если F=R≥0⊆R=E, d(x,y)=∣x−y∣, то, например, [0,1) — открытый шар в F=R≥0, так как [0,1)=(−1,1)∩R≥0. Hо! В R, [0,1) и не открыт и не замкнут!
(1) Пусть U — открытое множество в E, и пусть x∈U∩F. Так как U — открытое в E, то найдётся шар B(x,r)⊆E такой, что B(x,r)⊆U. Тогда F∩B(x,r)⊆F∪U. Но мы уже поняли, что B(x,r)∩F — открытый шар в F, но тогда включение F∩B(x,r)⊆F∪U и означает, что U∩F открыто в F, ибо x — произвольная точка в U∩F.
(2) Пусть S открыто в F, это значит, что для любой точки x∈S можно найти открытый шар B(x,r(x))⊆E такой, что F∩B(x,r(x))⊆S (т.к., F∩B(x,r(x)) — это открытый шар в F).
Тогда
S=x∈S⋃F∩B(x,r(x))=F∩U, где U=∪x∈SB(x,r(x))⊆E, тогда по Леммам Lemma 1, [](#union_and_cap_of_open} U открыто в E.