4.1. Понятие непрерывного отображения на прямой

Доказательство Lemma 4.1.1

(1) Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция, тогда она непрерывна в любой точке. Тогда для любой точки $x_0$ выполняются условия Definition 4.1.3, а так как согласно Lemma 3.1.2 множества $\mathscr{B}_\delta(x_0), \mathscr{B}_\varepsilon(f(x_0))$ открыты, то мы получаем включение $f\bigl(\mathscr{B}_\delta(x_0) \bigr) \subseteq \mathscr{B}_\varepsilon(f(x_0)).$

(2) Пусть теперь для любой точки $x \in \mathbb{R}$ и для любой $\varepsilon_y$-окрестности точки $y=f(x)$ всегда можно найти такую $\delta_x$-окрестность точки $x$, что $f\bigl(\mathscr{B}_{\delta_x}(x) \bigr) \subseteq \mathscr{B}_{\varepsilon_y}(f(x))$.

Рассмотрим теперь произвольную окрестность $\mathscr{W}$ точки $f(x_0)$, где $x_0$ — произвольная точка. Так как $\mathscr{W}$ — открытое в $\mathbb{R}$ множество, то согласно Definition 3.1.2 и (#open=union_of_opens), можем записать

а так как $y_0: = f(x_0) \in \mathscr{B}_{\varepsilon_{y_0}}(f(x_0))$, то согласно предположению, найдётся такая δ-окрестность $\mathscr{B}_{\delta}(x_0)$, что $f(\mathscr{B}_{\delta}(x_0)) \subseteq \mathscr{B}_{\varepsilon_{y_0}}(y_0)$, а тогда и $f(\mathscr{B}_{\delta}(x_0)) \subseteq\mathscr{W}.$ Это завершает доказательство.

Действительно, для этого мы положим, что $\mathscr{W}(f(x_0)) = (f(x_0)-\varepsilon, f(x_0) + \varepsilon)$ и $\mathscr{U}(x_0) = (x_0-\delta,x_0 + \delta)$ в формулировке Lemma 4.1.1.

(1) Пусть $f:X \to Y$ — непрерывная функция. Возьмём произвольное открытое множество $\mathscr{W} \subseteq Y$ и покажем, что множество $f^{-1}(\mathscr{W})$ открыто в $X$.

Пусть $x \in f^{-1}(\mathscr{W})$, тогда существует такой $y \in \mathscr{W}$, что $f(x) = y$. Далее, так как $\mathscr{W}$ является открытым множеством в $Y$, при этом $y\in \mathscr{W}$, $f(x) = y$, и $f$ — непрерывно в $x$, то согласно Definition 4.1.3, найдётся такое открытое в $X$ множество $\mathscr{U} \subseteq X$, что $x \in \mathscr{U}$ и $f(\mathscr{U}) \subseteq \mathscr{W}.$ Тогда согласно Proposition 4.1.2, получаем включение

наконец, согласно предложению Proposition 4.1.1, имеем

Итак, мы получили следующее. Для любой точки $x \in f^{-1}(\mathscr{W})$ мы нашли такое открытое в $X$ множество $\mathscr{U}$, что

но тогда согласно Proposition 3.1.1 множество $f^{-1}(\mathscr{W})$ — открыто в $X.$

(2) Пусть прообраз любого открытого множества в $Y$ есть открытое множество в $X$. Пусть $f(x) = y$ и пусть $y \in \mathscr{W}$, где $\mathscr{W}$ — открытое множество в $Y$. Тогда $x \in f^{-1}(\mathscr{W})$, а так как мы предположили, что множество $f^{-1}(\mathscr{W})$ — открыто в $X$, то согласно Proposition 3.1.1, найдётся такое открытое множество $\mathscr{U}$ в $X$, что

Так как $\mathscr{U} \subseteq f^{-1}(\mathscr{W})$, то согласно Proposition 4.1.2, имеем $f(\mathscr{U}) \subseteq f(f^{-1}(\mathscr{W}))$. Наконец, согласно Proposition 4.1.1, $f(f^{-1}(\mathscr{W})) \subseteq \mathscr{W}$.

Итак, мы получили, что для любой точки $y\in Y$ и любого открытого множества $\mathscr{W}$ в $Y$ мы нашли такое открытое множество $\mathscr{U}$ в $X$, что

т.е. $f(\mathscr{U}) \subseteq \mathscr{W}$, но согласно Definition 4.1.3, это и означает непрерывность в точке $x$, а так как $x$ — произвольная точка, то это означает непрерывность на всём $X$.

Второе утверждение, очевидно, следует из первого. Пусть $\mathscr{U}''$ — окрестность точки $h(x_0) = g(f(x_0))$. Тогда из предположения о непрерывности и Теоремы Theorem 4.1.1 следует, что $\mathscr{U}':=g^{-1}(\mathscr{U}'')$ — открытое множество в $E'$, содержащее точку $f(x_0)$. Далее, так как $f$ непрерывно, то по Lemma 1.5.1 прообраз $\mathscr{U}:=f^{-1}(\mathscr{U}')$ — открытое множество, содержащее точку $x_0$. Таким образом, $h^{-1}(\mathscr{U}'') = \mathscr{U}$ открытое, тогда по Theorem 4.1.1 $h$ непрерывно в точке $x_0$, что и завершает доказательство.

На самом деле, $f$ непрерывно в $x_0$ по условию, а $\mathrm{in}_A$ непрерывно в любой точке $a \in A$, тогда из предыдущей теоремы и следует утверждение.