Экстремум функции

Рассмотрим $k$ функций $\varphi_k(t): = f(a_1,\ldots, a_{k-1}, t, a_{k+1}, \ldots, a_n)$, $1 \le k \le n$, где от каждого $t$ мы требуем, чтобы соответствующая точка лежала в окрестности $\mathscr{U}(\m{a}).$ Пусть $\m{a}$ — точка максимума, тогда, в частности, $f(a_1, \ldots, t, \ldots) \le f(\m{a})$ для любого $t$, т.е. $\varphi_k(t) \le f(\m{a})$ при каждом $1 \le k \le n$. Другими словами, $a_k$ — точка максимума для $\varphi_k(t)$. Тогда по теореме Ферма Theorem 4, $\varphi'_k(a_k) = 0$, но $\varphi'_k(a_k) = f'_{x_k}(\m{a}) = 0$ для каждого $1 \le k \le n$, что и требовалось доказать.

В окрестности $\mathscr{U}(a)$ точки $\m{a}$ имеем (Теорема Theorem 1),

по условию $\nabla_\m{a}(f)(\m{h}) = 0$, запишем это в следующем виде:

Так как $(\mathrm{d}^2)_\m{a}(\m{h}) = \frac{1}{2} \m{h}^\top \m{H}_\m{a}(f) \m{h}$ — полином от переменных $h_1, \ldots, h_n$, то это непрерывная функция. С другой стороны, $\frac{\m{h}}{\| \m{h}\|}$ принадлежит единичной сфере $S^{n-1}: = \{\m{x} \in \mathbb{R}^n\, :\, \|\m{x}\| = 1\}$, тогда, согласно теореме Theorem 4, $(\mathrm{d}^2f)_\m{a}(\m{h})$ принимает максимальное и минимальное значение на сфере $S^{n-1}.$

(1) Пусть $(\m{d}^2f)_\m{a}(\m{h}) >0$ для любого $\m{h} \in \mathscr{U}(\m{a})$, тогда если $\m{v} \in S^{n-1}$, то и $(\m{d}^2f)_\m{a}(\m{v}) >0$ и тогда её минимальное значение на сфере тоже положительное, поэтому положим

Тогда

так как $\lim_{\m{h} \to \m{0}_n} \alpha(\m{h}) = 0$, то существует такая окрестность $\mathscr{V}$ точки $\m{0}_n$, что $|\alpha(\m{h})|< \frac{m}{4}$, тогда для любого $\m{h} \in \mathscr{V}$ получаем

что означает, что точка $\m{a}$ — локальный минимум.

(2) Доказательство аналогичное.

(3) Пусть существуют такие $\m{u}, \m{v} \in \mathscr{U}(\m{a})$, что $(\m{d}^2f)_\m{a}(\m{u}) >0$, $(\m{d}^2f)_\m{a}(\m{v}) <0$. Тогда имеем

аналогично, получаем

Тогда при достаточно близких $t$ к нулю, с одной стороны $f(\m{a} + t \m{u}) < f(\m{a})$, а с другой $f(\m{a} + t \m{v}) > f(\m{a})$, это завершает доказательство.