Так как F F F U \mathscr{U} U a , a + h ∈ U \m{a}, \m{a}+\m{h} \in \mathscr{U} a , a + h ∈ U
F ( a + h ) − F ( a ) = ( d F a ) h + α ( h ) ∥ h ∥ , ∥ h ∥ → 0.
F(\m{a} + \m{h}) - F(\m{a}) = (\mathrm{d}F_\m{a})\m{h} + \alpha(\m{h})\| \m{h}\|, \qquad \|\m{h}\| \to 0. F ( a + h ) − F ( a ) = ( d F a ) h + α ( h ) ∥ h ∥ , ∥ h ∥ → 0. (1) Так как U \mathscr{U} U c ∈ U \m{c} \in \mathscr{U} c ∈ U B ( c , r ) ⊆ U B(\m{c},r) \subseteq \mathscr{U} B ( c , r ) ⊆ U x , y ∈ B ( c , r ) \m{x},\m{y} \in B(\m{c},r) x , y ∈ B ( c , r )
χ x , y : [ 0 , 1 ] → R n , t ↦ x t + ( 1 − t ) y ,
\chi_{\m{x},\m{y}}: [0,1] \to \mathbb{R}^n, \qquad t \mapsto \m{x}t + (1-t)\m{y}, χ x , y : [ 0 , 1 ] → R n , t ↦ x t + ( 1 − t ) y , покажем, что χ x , y ( t ) ∈ B ( c , r ) \chi_{\m{x},\m{y}}(t) \in B(\m{c},r) χ x , y ( t ) ∈ B ( c , r ) t ∈ [ 0 , 1 ] t \in [0,1] t ∈ [ 0 , 1 ] ∥ x − c ∥ , ∥ y − c ∥ < r \|\m{x} - \m{c}\|, \|\m{y} - \m{c}\| < r ∥ x − c ∥ , ∥ y − c ∥ < r t ∈ [ 0 , 1 ] t \in [0,1] t ∈ [ 0 , 1 ]
∥ ( t x + ( 1 − t ) y ) − c ∥ = ∥ t x + ( 1 − t ) y − t c − ( 1 − t ) c ∥ = ∥ t ( x − c ) + ( 1 − t ) ( y − c ) ∥ ≤ t ∥ x − c ∥ + ( 1 − t ) ∥ y − c ∥ < t r + ( 1 − t ) r = r , \begin{align*}
\| (t\m{x}+ (1-t)\m{y}) - \m{c}\| &=& \| t\m{x}+ (1-t)\m{y}- t\m{c} - (1-t)\m{c}\| \\
&= & \| t(\m{x} - \m{c}) + (1-t)(\m{y} - \m{c}) \| \\
&\le & t \| \m{x} - \m{c} \| + (1-t) \| \m{y} -\m{c} \| \\
&<& tr + (1-t)r = r,
\end{align*} ∥ ( t x + ( 1 − t ) y ) − c ∥ = = ≤ < ∥ t x + ( 1 − t ) y − t c − ( 1 − t ) c ∥ ∥ t ( x − c ) + ( 1 − t ) ( y − c ) ∥ t ∥ x − c ∥ + ( 1 − t ) ∥ y − c ∥ t r + ( 1 − t ) r = r , т. е. x t + ( 1 − t ) y ∈ B ( a , r ) \m{x}t + (1-t)\m{y} \in B(\m{a},r) x t + ( 1 − t ) y ∈ B ( a , r ) t ∈ [ 0 , 1 ] . t \in [0,1]. t ∈ [ 0 , 1 ] .
(2) Пусть отображение F F F
F : ( x 1 ⋮ x n ) ↦ ( f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f n ( x 1 , … , x n ) ) . F: \begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix}
f_1(x_1,\ldots, x_n) \\
\vdots \\
f_n(x_1,\ldots, x_n)
\end{pmatrix}. F : ⎝ ⎛ x 1 ⋮ x n ⎠ ⎞ ↦ ⎝ ⎛ f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f n ( x 1 , … , x n ) ⎠ ⎞ . Определим для каждого 1 ≤ i ≤ n 1 \le i \le n 1 ≤ i ≤ n φ i ( t ) : [ 0 , 1 ] → B ( a , r ) \varphi_i(t):[0,1] \to B(\m{a}, r) φ i ( t ) : [ 0 , 1 ] → B ( a , r )
φ i ( t ) : = f i ( t x + ( 1 − t ) y ) , 1 ≤ i ≤ n ,
\varphi_i(t): = f_i(t\m{x} + (1-t)\m{y}), \qquad 1\le i \le n, φ i ( t ) := f i ( t x + ( 1 − t ) y ) , 1 ≤ i ≤ n , другими словами, φ i : = f i ∘ χ x , y \varphi_i: = f_i \circ \chi_{\m{x},\m{y}} φ i := f i ∘ χ x , y
Пусть z t : = t x + ( 1 − t ) y \m{z}_t:=t\m{x} + (1-t)\m{y} z t := t x + ( 1 − t ) y Theorem 1
φ i ′ ( t ) = ( d f i ) z t ⋅ χ x , y ′ ( t ) = ( d f i ) z t ⋅ ( x − y ) = ( ∂ f i ∂ x 1 ( z t ) … ∂ f i ∂ x n ( z t ) ) ( x 1 − y 1 ⋮ x n − y n ) = ∑ k = 1 n ∂ f i ∂ x k ( z t ) ( x k − y k ) . \begin{align*}
\varphi'_i(t) &= (\mathrm{d}f_i)_{\m{z}_t} \cdot \chi'_{\m{x},\m{y}}(t) \\
&= (\mathrm{d}f_i)_{\m{z}_t} \cdot (\m{x} - \m{y}) \\
&= \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_i}{\partial x_1}({\m{z}_t}) & \ldots & \dfrac{\partial f_i}{\partial x_n} ({\m{z}_t})
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_1 - y_1 \\
\vdots \\
x_n -y_n
\end{pmatrix} \\
&= \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f_i}{\partial x_k}({\m{z}_t}) (x_k - y_k) .
\end{align*} φ i ′ ( t ) = ( d f i ) z t ⋅ χ x , y ′ ( t ) = ( d f i ) z t ⋅ ( x − y ) = ( ∂ x 1 ∂ f i ( z t ) … ∂ x n ∂ f i ( z t ) ) ⎝ ⎛ x 1 − y 1 ⋮ x n − y n ⎠ ⎞ = k = 1 ∑ n ∂ x k ∂ f i ( z t ) ( x k − y k ) . (3) По теореме Лагранжа Theorem 6 ϑ i ∈ ( 0 , 1 ) \vartheta_i \in (0,1) ϑ i ∈ ( 0 , 1 )
φ i ( 1 ) − φ i ( 0 ) = φ i ′ ( ϑ i ) ,
\varphi_i(1) - \varphi_i(0) = \varphi_i'(\vartheta_i), φ i ( 1 ) − φ i ( 0 ) = φ i ′ ( ϑ i ) , тогда, положив z i : = ϑ i x + ( 1 − ϑ i ) y \m{z}_i: = \vartheta_i \m{x} + (1-\vartheta_i)\m{y} z i := ϑ i x + ( 1 − ϑ i ) y φ i ( 1 ) − φ i ( 0 ) = f i ( x ) − f i ( y ) \varphi_i(1) - \varphi_i(0) = f_i(\m{x}) - f_i(\m{y}) φ i ( 1 ) − φ i ( 0 ) = f i ( x ) − f i ( y )
F ( x ) − F ( y ) = ( f 1 ( x ) − f 1 ( y ) ⋮ f n ( x ) − f n ( y ) ) = ( ∂ f 1 ∂ x 1 ( z 1 ) … ∂ f 1 ∂ x n ( z 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f n ∂ x 1 ( z n ) … ∂ f n ∂ x n ( z n ) ) ( x 1 − y 1 ⋮ x n − y n ) = J ( z 1 , … , z n ) ( x − y ) . \begin{align*}
F(\m{x}) - F(\m{y}) &= \begin{pmatrix}
f_1(\m{x}) - f_1(\m{y})\\
\vdots \\
f_n(\m{x}) - f_n(\m{y})
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(\m{z}_1) & \ldots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(\m{z}_1) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial f_n}{\partial x_1}(\m{z}_n) & \ldots & \dfrac{\partial f_n}{\partial x_n}(\m{z}_n)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1-y_1\\
\vdots \\
x_n - y_n
\end{pmatrix} = J(\m{z}_1,\ldots, \m{z}_n)(\m{x} - \m{y}).
\end{align*} F ( x ) − F ( y ) = ⎝ ⎛ f 1 ( x ) − f 1 ( y ) ⋮ f n ( x ) − f n ( y ) ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ ∂ x 1 ∂ f 1 ( z 1 ) ⋮ ∂ x 1 ∂ f n ( z n ) … ⋱ … ∂ x n ∂ f 1 ( z 1 ) ⋮ ∂ x n ∂ f n ( z n ) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x 1 − y 1 ⋮ x n − y n ⎠ ⎞ = J ( z 1 , … , z n ) ( x − y ) . В связи с этим рассмотрим функцию
d e t ( J ) : R n × ⋯ × R n ⏟ n → R , ( x 1 , … , x n ) ↦ d e t ( ∂ f 1 ∂ x 1 ( x 1 ) … ∂ f 1 ∂ x n ( x 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f n ∂ x 1 ( x n ) … ∂ f n ∂ x n ( x n ) ) \mathrm{det}(J): \underbrace{\mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n}_n \to \mathbb{R}, \qquad (\m{x}_1,\ldots, \m{x}_n) \mapsto \mathrm{det} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(\m{x}_1) & \ldots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(\m{x}_1) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial f_n}{\partial x_1}(\m{x}_n) & \ldots & \dfrac{\partial f_n}{\partial x_n}(\m{x}_n)
\end{pmatrix} det ( J ) : n R n × ⋯ × R n → R , ( x 1 , … , x n ) ↦ det ⎝ ⎛ ∂ x 1 ∂ f 1 ( x 1 ) ⋮ ∂ x 1 ∂ f n ( x n ) … ⋱ … ∂ x n ∂ f 1 ( x 1 ) ⋮ ∂ x n ∂ f n ( x n ) ⎠ ⎞ Так функция d e t \mathrm{det} det d e t ( J ) \mathrm{det}(J) det ( J ) d e t J ( a , … , a ) = d e t ( d F ) a \mathrm{det}J(\m{a},\ldots, \m{a}) = \mathrm{det} (\mathrm{d}F)_a det J ( a , … , a ) = det ( d F ) a ( d F ) a (\mathrm{d}F)_\m{a} ( d F ) a d e t ( d F ) a ≠ 0 \mathrm{det} (\mathrm{d}F)_a \ne 0 det ( d F ) a = 0 d e t ( J ( a , … , a ) ) ≠ 0 \mathrm{det}(J(\m{a},\ldots,\m{a})) \ne 0 det ( J ( a , … , a )) = 0 d e t ( J ) \mathrm{det}(J) det ( J ) B ( a , ε ) B(\m{a}, \varepsilon) B ( a , ε ) z 1 , … , z n ∈ B ( a , ε ) \m{z}_1,\ldots, \m{z}_n \in B(\m{a},\varepsilon) z 1 , … , z n ∈ B ( a , ε ) d e t ( J ) ( z 1 , … , z n ) ≠ 0. \mathrm{det}(J)(\m{z}_1,\ldots, \m{z}_n) \ne 0. det ( J ) ( z 1 , … , z n ) = 0.
(4) Итак, пусть x , y ∈ B ( a , ε ) \m{x},\m{y} \in B(\m{a},\varepsilon) x , y ∈ B ( a , ε ) x ≠ y \m{x} \ne \m{y} x = y
F ( x ) − F ( y ) = J ( z 1 , … , z n ) ( x − y ) F(\m{x}) - F(\m{y}) = J(\m{z}_1,\ldots, \m{z}_n)(\m{x}- \m{y}) F ( x ) − F ( y ) = J ( z 1 , … , z n ) ( x − y ) и так как d e t ( J ) ( z 1 , … , z n ) ≠ 0 \mathrm{det}(J)(\m{z}_1,\ldots, \m{z}_n) \ne 0 det ( J ) ( z 1 , … , z n ) = 0 J ( z 1 , … , z n ) ≠ 0 J(\m{z}_1,\ldots, \m{z}_n) \ne 0 J ( z 1 , … , z n ) = 0 F ( x ) ≠ F ( y ) . F(\m{x}) \ne F(\m{y}). F ( x ) = F ( y ) .
Вывод: мы нашли такой шар B ( a , ε ) , что отображение F : B ( a , ε ) → F ( B ( a , ε ) ) — биекция! \boxed{
\boxed{
\textbf{Вывод: мы нашли такой шар $B(\m{a}, \varepsilon)$, что отображение $F: B(\m{a}, \varepsilon) \to F(B(\m{a}, \varepsilon))$ — биекция!}}} Вывод : мы нашли такой шар B ( a , ε ) , что отображение F : B ( a , ε ) → F ( B ( a , ε )) — биекция ! (5) Покажем, что F ( B ( a , ε ) ) F(B(\m{a}, \varepsilon)) F ( B ( a , ε )) x ∈ F ( B ( a , ε ) ) \m{x} \in F(B(\m{a}, \varepsilon)) x ∈ F ( B ( a , ε )) F ( x ) F(\m{x}) F ( x ) F ( B ( a , ε ) ) . F(B(\m{a}, \varepsilon)). F ( B ( a , ε )) .
Для таких целей мы рассмотрим функцию ψ v ( y ) : = ∥ F ( y ) − v ∥ 2 \psi_\m{v}(\m{y}): = \| F(\m{y}) - \m{v}\|^2 ψ v ( y ) := ∥ F ( y ) − v ∥ 2 U \mathscr{U} U B ˉ ( a , ε ) \bar B(\m{a}, \varepsilon) B ˉ ( a , ε )
где g v ( b ) : = ∥ b − v ∥ 2 = ( ( b 1 − v 1 ) + ⋯ + ( b n − v n ) 2 ) 2 = ( b 1 − v 1 ) + ⋯ + ( b n − v n ) 2 g_\m{v}(\m{b}): = \| \m{b} - \m{v}\|^2 = \left( \sqrt{ (b_1-v_1) + \cdots + (b_n - v_n)^2 } \right)^2 = (b_1-v_1) + \cdots + (b_n - v_n)^2 g v ( b ) := ∥ b − v ∥ 2 = ( ( b 1 − v 1 ) + ⋯ + ( b n − v n ) 2 ) 2 = ( b 1 − v 1 ) + ⋯ + ( b n − v n ) 2 b = ( b 1 , … , b n ) ⊤ \m{b} = (b_1,\ldots, b_n)^\top b = ( b 1 , … , b n ) ⊤ v = ( v 1 , … , v n ) ⊤ . \m{v} = (v_1,\ldots, v_n)^\top. v = ( v 1 , … , v n ) ⊤ .
Тогда по теореме о дифференциале композиции Theorem 1
( d ψ v ) y = ( d g v ) F ( y ) ⋅ ( d F ) y = ( 2 ( f 1 ( y ) − v 1 ) … 2 ( f n ( y ) − v n ) ) ( ∂ f 1 ∂ x 1 ( y ) … ∂ f 1 ∂ x n ( y ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f n ∂ x 1 ( y ) … ∂ f n ∂ x n ( y ) ) \begin{align*}
(\mathrm{d} \psi_\m{v})_\m{y} &=(\mathrm{d}g_\m{v})_{F(\m{y})} \cdot (\mathrm{d}F)_\m{y} \\
&= \begin{pmatrix}
2(f_1(\m{y}) - v_1) & \ldots & 2(f_n(\m{y}) - v_n)
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(\m{y}) & \ldots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(\m{y}) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial f_n}{\partial x_1}(\m{y}) & \ldots & \dfrac{\partial f_n}{\partial x_n}(\m{y})
\end{pmatrix}
\end{align*} ( d ψ v ) y = ( d g v ) F ( y ) ⋅ ( d F ) y = ( 2 ( f 1 ( y ) − v 1 ) … 2 ( f n ( y ) − v n ) ) ⎝ ⎛ ∂ x 1 ∂ f 1 ( y ) ⋮ ∂ x 1 ∂ f n ( y ) … ⋱ … ∂ x n ∂ f 1 ( y ) ⋮ ∂ x n ∂ f n ( y ) ⎠ ⎞ тогда для каждого 1 ≤ i ≤ n 1 \le i \le n 1 ≤ i ≤ n
∂ ψ ∂ x i ( y ) = 2 ∑ k = 1 n ∂ f i ∂ x k ( y ) ( f i ( y ) − v i ) . \dfrac{\partial \psi}{\partial x_i}(\m{y}) = 2 \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f_i}{\partial x_k}(\m{y}) (f_i(\m{y}) - v_i). ∂ x i ∂ ψ ( y ) = 2 k = 1 ∑ n ∂ x k ∂ f i ( y ) ( f i ( y ) − v i ) . Мы хотим показать, что точка минимума этой функции находится в шаре B ( a , ε ) . \boxed{
\textbf{Мы хотим показать, что точка минимума этой функции находится в шаре $B(\m{a},\varepsilon)$.}} Мы хотим показать , что точка минимума этой функции находится в шаре B ( a , ε ) . (6) Рассмотрим функцию ρ x : B ˉ ( a , ε ) → R \rho_\m{x}: \bar B(\m{a},\varepsilon) \to \mathbb{R} ρ x : B ˉ ( a , ε ) → R ρ x ( y ) : = ∥ F ( y ) − F ( x ) ∥ \rho_\m{x}(\m{y}): = \| F(\m{y}) - F(\m{x})\| ρ x ( y ) := ∥ F ( y ) − F ( x ) ∥ s ∈ S ( a , ε ) : = { y ∈ R n : ∥ y − a ∥ = ε } \m{s} \in S(\m{a},\varepsilon): = \{\m{y}\in \mathbb{R}^n\, :\, \| \m{y} - \m{a}\| = \varepsilon\} s ∈ S ( a , ε ) := { y ∈ R n : ∥ y − a ∥ = ε } S S S Corollary 2 Theorem 4 ρ x \rho_\m{x} ρ x S S S ρ x ( s ) = ∥ F ( s ) − F ( x ) ∥ = 0 \rho_\m{x}(\m{s}) = \| F(\m{s}) - F(\m{x})\| = 0 ρ x ( s ) = ∥ F ( s ) − F ( x ) ∥ = 0 s = x \m{s} = \m{x} s = x F F F B ( a , ε ) B(\m{a},\varepsilon) B ( a , ε )
Тогда можно выбрать положительное число δ > 0 \delta>0 δ > 0 ρ x ( s ) = ∥ F ( s ) − F ( x ) ∥ > 2 δ \rho_\m{x}(\m{s}) = \| F(\m{s}) - F(\m{x})\| > 2 \delta ρ x ( s ) = ∥ F ( s ) − F ( x ) ∥ > 2 δ s ∈ S ( a , ε ) . \m{s} \in S(\m{a}, \varepsilon). s ∈ S ( a , ε ) .
(7) Покажем теперь, что открытый шар B ( F ( x ) , δ ) ⊆ F ( B ( a , ε ) ) B(F(\m{x}), \delta) \subseteq F(B(\m{a}, \varepsilon)) B ( F ( x ) , δ ) ⊆ F ( B ( a , ε )) v ∈ B ( F ( x ) , δ ) \m{v} \in B(F(\m{x}), \delta) v ∈ B ( F ( x ) , δ ) ∥ F ( x ) − v ∥ < δ \| F(\m{x}) - \m{v}\| < \delta ∥ F ( x ) − v ∥ < δ s ∈ S ( a , ε ) \m{s} \in S(\m{a}, \varepsilon) s ∈ S ( a , ε ) Lemma 1
∥ F ( s ) − v ∥ = ∥ ( F ( s ) − F ( x ) ) − ( v − F ( x ) ) ∥ ≥ ∣ ∥ F ( s ) − F ( x ) ∥ − ∥ v − F ( x ) ∥ ∣ > ∣ 2 δ − δ ∣ = δ . \begin{align*}
\| F(\m{s}) - \m{v}\| &=& \| ( F(\m{s}) - F(\m{x} )) - (\m{v} - F(\m{x}))\| \\
&\ge & \Bigl| \| F(\m{s}) - F(\m{x}) \| - \| \m{v} - F(\m{x}) \| \Bigr| \\
&>& |2\delta - \delta| = \delta.
\end{align*} ∥ F ( s ) − v ∥ = ≥ > ∥ ( F ( s ) − F ( x )) − ( v − F ( x )) ∥ ∣ ∣ ∥ F ( s ) − F ( x ) ∥ − ∥ v − F ( x ) ∥ ∣ ∣ ∣2 δ − δ ∣ = δ . Вернёмся к функции ψ v ( y ) : = ∥ F ( y ) − v ∥ 2 \psi_\m{v}(\m{y}): = \| F(\m{y}) - \m{v}\|^2 ψ v ( y ) := ∥ F ( y ) − v ∥ 2 B ˉ ( a , ε ) \bar B(\m{a}, \varepsilon) B ˉ ( a , ε )
ψ v ( s ) = ∥ F ( s ) − v ∥ 2 > δ 2 , s ∈ S ( a , ε ) , ψ v ( x ) = ∥ F ( x ) − v ∥ 2 < δ 2 . \begin{align*}
& \psi_\m{v}(\m{s}) = \| F(\m{s}) - \m{v}\|^2 > \delta^2, \qquad \m{s} \in S(\m{a},\varepsilon),\\
&\psi_\m{v}(\m{x}) = \| F(\m{x}) - \m{v}\|^2 <\delta^2.
\end{align*} ψ v ( s ) = ∥ F ( s ) − v ∥ 2 > δ 2 , s ∈ S ( a , ε ) , ψ v ( x ) = ∥ F ( x ) − v ∥ 2 < δ 2 . С другой стороны, B ˉ ( a , ε ) \bar B(\m{a}, \varepsilon) B ˉ ( a , ε ) Lemma 3 Theorem 4 ψ v \psi_\m{v} ψ v w ∈ B ( a , ε ) \m{w} \in B(\m{a},\varepsilon) w ∈ B ( a , ε )
(8) В таком случае, если w \m{w} w ∂ ψ ∂ x i ( w ) = 0 \frac{\partial \psi}{\partial x_i}(\m{w})=0 ∂ x i ∂ ψ ( w ) = 0 J ≠ 0 J \ne 0 J = 0 B ( a , ε ) B(\m{a},\varepsilon) B ( a , ε ) (13) f i ( w ) = v i f_i(\m{w}) = v_i f i ( w ) = v i 1 ≤ i ≤ n 1\le i \le n 1 ≤ i ≤ n v = F ( w ) \m{v} = F(\m{w}) v = F ( w )
Итак, мы взяли произвольную точку v ∈ B ( F ( x , δ ) \m{v} \in B(F(\m{x}, \delta) v ∈ B ( F ( x , δ ) v = F ( w ) \m{v} = F(\m{w}) v = F ( w ) w ∈ B ( a , ε ) \m{w} \in B(\m{a},\varepsilon) w ∈ B ( a , ε ) B ( F ( x , δ ) ⊆ F ( B ( a , ε ) ) B(F(\m{x}, \delta) \subseteq F(B(\m{a}, \varepsilon)) B ( F ( x , δ ) ⊆ F ( B ( a , ε )) F ( B ( a , ε ) ) F(B(\m{a}, \varepsilon)) F ( B ( a , ε ))
(9) Нам осталось показать, что F − 1 F^{-1} F − 1 F ( B ( a , ε ) ) F(B(\m{a},\varepsilon)) F ( B ( a , ε )) a ′ ∈ F ( B ( a , ε ) ) \m{a}' \in F(B(\m{a},\varepsilon)) a ′ ∈ F ( B ( a , ε )) Φ a ′ \Phi_{\m{a}'} Φ a ′ a ′ , a ′ + h ′ ∈ F ( B ( a , ε ) ) \m{a}', \m{a}' + \m{h}' \in F(B(\m{a},\varepsilon)) a ′ , a ′ + h ′ ∈ F ( B ( a , ε ))
F − 1 ( a ′ + h ′ ) − F − 1 ( a ′ ) = Φ a ′ ( h ′ ) + β ( h ′ ) ∥ h ′ ∥ , h ′ → 0 n .
F^{-1}(\m{a}' + \m{h}') - F^{-1}(\m{a}') = \Phi_{\m{a}'}(\m{h}') + \beta(\m{h}') \| \m{h}'\|, \qquad \m{h}' \to \m{0}_n. F − 1 ( a ′ + h ′ ) − F − 1 ( a ′ ) = Φ a ′ ( h ′ ) + β ( h ′ ) ∥ h ′ ∥ , h ′ → 0 n . Пусть a : = F − 1 ( a ′ ) \m{a}: = F^{-1}(\m{a}') a := F − 1 ( a ′ ) a + h : = F − 1 ( a ′ + h ′ ) \m{a} + \m{h} := F^{-1}(\m{a}' + \m{h}') a + h := F − 1 ( a ′ + h ′ ) F ( a ) = a ′ F(\m{a}) = \m{a}' F ( a ) = a ′ F ( a + h ) = a ′ + h ′ F(\m{a} + \m{h}) = \m{a}' + \m{h}' F ( a + h ) = a ′ + h ′
Тогда
Φ a ′ ( h ′ ) = Φ a ′ ( F ( a + h ) − a ′ ) = Φ a ′ ( F ( a + h ) − F ( a ) ) \begin{align*}
\Phi_{\m{a}'}(\m{h}') &= \Phi_{\m{a}'}\left( F(\m{a} + \m{h}) - \m{a}' \right) \\
&= \Phi_{\m{a}'}\left( F(\m{a} + \m{h}) - F(\m{a}) \right)
\end{align*} Φ a ′ ( h ′ ) = Φ a ′ ( F ( a + h ) − a ′ ) = Φ a ′ ( F ( a + h ) − F ( a ) ) так как F F F U \mathscr{U} U
F ( a + h ) − F ( a ) = ( d F a ) h + α ( h ) ∥ h ∥ , ∥ h ∥ → 0
F(\m{a} + \m{h}) - F(\m{a}) = (\mathrm{d}F_\m{a})\m{h} + \alpha(\m{h})\| \m{h}\|, \qquad \|\m{h}\| \to 0 F ( a + h ) − F ( a ) = ( d F a ) h + α ( h ) ∥ h ∥ , ∥ h ∥ → 0 тогда, требуя, чтобы Φ a ′ \Phi_{\m{a}'} Φ a ′ ( d F ) a (\mathrm{d}F)_\m{a} ( d F ) a
Φ a ′ ( h ′ ) = Φ a ′ ( ( d F a ) h + α ( h ) ∥ h ∥ ) = h + Φ a ′ ( α ( h ) ) ⋅ ∥ h ∥ \begin{align*}
\Phi_{\m{a}'}(\m{h}')&= \Phi_{\m{a}'}\left( (\mathrm{d}F_\m{a})\m{h} + \alpha(\m{h})\| \m{h}\| \right) \\
&= \m{h} + \Phi_{\m{a}'}(\alpha(\m{h}))\cdot \| \m{h}\|
\end{align*} Φ a ′ ( h ′ ) = Φ a ′ ( ( d F a ) h + α ( h ) ∥ h ∥ ) = h + Φ a ′ ( α ( h )) ⋅ ∥ h ∥ Рассмотрим теперь
β ( h ′ ) : = ∥ h ∥ ∥ h ′ ∥ Φ a ′ ( α ( h ) ) ,
\beta(\m{h}'): = \frac{\|\m{h}\|}{\| \m{h}'\|}\Phi_{\m{a}'}(\alpha(\m{h})) , β ( h ′ ) := ∥ h ′ ∥ ∥ h ∥ Φ a ′ ( α ( h )) , и покажем, что lim h ′ → 0 n β ( h ′ ) = 0 \lim_{\m{h}' \to \m{0}_n} \beta(\m{h}') = 0 lim h ′ → 0 n β ( h ′ ) = 0
Вернёмся к равенству ((10) J ( z 1 , … , z n ) J(\m{z}_1,\ldots, \m{z}_n) J ( z 1 , … , z n ) B ˉ ( a , ε ) \bar B(\m{a},\varepsilon) B ˉ ( a , ε ) Theorem 1 т.е., мы получаем
∥ F ( x ) − F ( y ) ∥ = ∥ J ( x − y ) ∥ ≥ μ ∥ x − y ∥ .
\| F(\m{x}) - F(\m{y})\| = \| J(\m{x}-\m{y})\| \ge \mu \|\m{x} - \m{y}\|. ∥ F ( x ) − F ( y ) ∥ = ∥ J ( x − y ) ∥ ≥ μ ∥ x − y ∥. Так как h ′ = F ( a + h ) − F ( a ) \m{h}'= F(\m{a} + \m{h}) - F(\m{a}) h ′ = F ( a + h ) − F ( a )
∥ h ′ ∥ = ∥ F ( a + h ) − F ( a ) ∥ ≥ μ ∥ h ∥ .
\| \m{h}'\| =\| F(\m{a} + \m{h}) - F(\m{a}) \| \ge \mu \| \m{h} \|. ∥ h ′ ∥ = ∥ F ( a + h ) − F ( a ) ∥ ≥ μ ∥ h ∥. Тогда
β ( h ′ ) : = ∥ h ∥ ∥ h ′ ∥ Φ a ′ ( α ( h ) ) ≤ μ Φ a ′ ( α ( h ) ) ,
\beta(\m{h}'): = \frac{\|\m{h}\|}{\| \m{h}'\|}\Phi_{\m{a}'}(\alpha(\m{h})) \le \mu \Phi_{\m{a}'}(\alpha(\m{h})), β ( h ′ ) := ∥ h ′ ∥ ∥ h ∥ Φ a ′ ( α ( h )) ≤ μ Φ a ′ ( α ( h )) , в силу непрерывности Φ a ′ \Phi_{\m{a}'} Φ a ′ Lemma 1
β ( h ′ ) : = Φ a ′ ( α ( h ) ) → 0 , h ′ → 0 n ,
\beta(\m{h}'): = \Phi_{\m{a}'}(\alpha(\m{h})) \to 0, \qquad \m{h}' \to \m{0}_n, β ( h ′ ) := Φ a ′ ( α ( h )) → 0 , h ′ → 0 n , что и показывает lim h ′ → 0 n β ( h ′ ) = 0 \lim_{\m{h}' \to \m{0}_n} \beta(\m{h}') = 0 lim h ′ → 0 n β ( h ′ ) = 0
F − 1 ( a ′ + h ′ ) − F − 1 ( a ′ ) = Φ a ′ ( h ′ ) + β ( h ′ ) ∥ h ′ ∥ , h ′ → 0 n .
F^{-1}(\m{a}' + \m{h}') - F^{-1}(\m{a}') = \Phi_{\m{a}'}(\m{h}') + \beta(\m{h}') \| \m{h}'\|, \qquad \m{h}' \to \m{0}_n. F − 1 ( a ′ + h ′ ) − F − 1 ( a ′ ) = Φ a ′ ( h ′ ) + β ( h ′ ) ∥ h ′ ∥ , h ′ → 0 n . Тем самым, теорема об обратной функции полностью доказана.
