Так как F — дифференцируемое в U, то для любых точек a,a+h∈U имеет место равенство
F(a+h)−F(a)=(dFa)h+α(h)∥h∥,∥h∥→0.
(1) Так как U — открыто, то для любой точки c∈U найдётся открытый шар B(c,r)⊆U. Согласно Аксиоме Выбора, мы можем выбрать любые две разные точки: x,y∈B(c,r). Рассмотрим отображение:
χx,y:[0,1]→Rn,t↦xt+(1−t)y,
покажем, что χx,y(t)∈B(c,r) для любого t∈[0,1]. Действительно, имеем ∥x−c∥,∥y−c∥<r, тогда для любого t∈[0,1] получаем
Так функция det — непрерывная, то det(J) непрерывная, с другой стороны, detJ(a,…,a)=det(dF)a. По условию, (dF)a — обратима, т.е. det(dF)a=0, т.е. det(J(a,…,a))=0. Но тогда в силу непрерывности det(J) можно найти такой открытый шар B(a,ε), что для любых z1,…,zn∈B(a,ε)det(J)(z1,…,zn)=0.
(4) Итак, пусть x,y∈B(a,ε), x=y, тогда из предыдущих рассуждений мы получаем
(5) Покажем, что F(B(a,ε)) — открытое, т.е. для любой точки x∈F(B(a,ε)) найдётся такой шар малого радиуса с центром в F(x), который будет содержаться в F(B(a,ε)).
Для таких целей мы рассмотрим функцию ψv(y):=∥F(y)−v∥2 на замкнутом в U шаре Bˉ(a,ε), которую можно определить как наклонную стрелку в диаграмме
где gv(b):=∥b−v∥2=((b1−v1)+⋯+(bn−vn)2)2=(b1−v1)+⋯+(bn−vn)2, где b=(b1,…,bn)⊤ и v=(v1,…,vn)⊤.
Тогда по теореме о дифференциале композиции Theorem 1
(6) Рассмотрим функцию ρx:Bˉ(a,ε)→R, ρx(y):=∥F(y)−F(x)∥, которая, очевидно, непрерывна. Пусть s∈S(a,ε):={y∈Rn:∥y−a∥=ε}, так как S — компакт (Следствие Corollary 2), то, согласно Теореме Theorem 4, функция ρx, рассматриваемая только на S, достигает минимума, но так как ρx(s)=∥F(s)−F(x)∥=0, если и только если s=x (потому что F биективно на B(a,ε)), то минимум этой функции положителен.
Тогда можно выбрать положительное число δ>0 так, чтобы ρx(s)=∥F(s)−F(x)∥>2δ для всех s∈S(a,ε).
(7) Покажем теперь, что открытый шар B(F(x),δ)⊆F(B(a,ε)). Пусть v∈B(F(x),δ), т.е. ∥F(x)−v∥<δ. Для любого s∈S(a,ε) согласно Лемме Lemma 1, получаем
С другой стороны, Bˉ(a,ε) — компакт (так как он очевидно ограничен и замкнут согласно Лемме Lemma 3), тогда функция (Теорема Theorem 4) ψv принимает на нём минимальное значение, но тогда из неравенств выше вытекает, что точка минимума w∈B(a,ε).
(8) В таком случае, если w — точка минимума, то из необходимого признака Theorem 1, ∂xi∂ψ(w)=0, но так как J=0 в шаре B(a,ε), то из (2)вытекает, что fi(w)=vi для каждого 1≤i≤n, т. е. v=F(w).
Итак, мы взяли произвольную точку v∈B(F(x,δ) и только что показали, что v=F(w), где w∈B(a,ε), но это и означает, что B(F(x,δ)⊆F(B(a,ε)), т. е. мы показали, что F(B(a,ε)) — открыто.
(9) Нам осталось показать, что F−1 дифференцируемо в F(B(a,ε)), т. е. для любой точки a′∈F(B(a,ε)) существует такой линейный оператор Φa′, что для любых двух точек a′,a′+h′∈F(B(a,ε)) имеет место равенство
F−1(a′+h′)−F−1(a′)=Φa′(h′)+β(h′)∥h′∥,h′→0n.
Пусть a:=F−1(a′) и a+h:=F−1(a′+h′), т. е. F(a)=a′ и F(a+h)=a′+h′.
Тогда
Φa′(h′)=Φa′(F(a+h)−a′)=Φa′(F(a+h)−F(a))
так как F дифференцируемо в U, то, согласно определению,
F(a+h)−F(a)=(dFa)h+α(h)∥h∥,∥h∥→0
тогда, требуя, чтобы Φa′ была обратной к матрице (dF)a, получаем
Φa′(h′)=Φa′((dFa)h+α(h)∥h∥)=h+Φa′(α(h))⋅∥h∥
Рассмотрим теперь
β(h′):=∥h′∥∥h∥Φa′(α(h)),
и покажем, что limh′→0nβ(h′)=0.
Вернёмся к равенству ((1)) и рассмотрим теперь функцию J(z1,…,zn) на замкнутом шаре Bˉ(a,ε), тогда по теореме Theorem 1.4.1, эта функция принимает минимальное значение μ, т.е., мы получаем
∥F(x)−F(y)∥=∥J(x−y)∥≥μ∥x−y∥.
Так как h′=F(a+h)−F(a), то из неравенства выше, получаем
∥h′∥=∥F(a+h)−F(a)∥≥μ∥h∥.
Тогда
β(h′):=∥h′∥∥h∥Φa′(α(h))≤μΦa′(α(h)),
в силу непрерывности Φa′ (так как это линейный оператор, Лемма Lemma 1), мы получаем, что
β(h′):=Φa′(α(h))→0,h′→0n,
что и показывает limh′→0nβ(h′)=0, а тогда имеет место равенство
F−1(a′+h′)−F−1(a′)=Φa′(h′)+β(h′)∥h′∥,h′→0n.
Тем самым, теорема об обратной функции полностью доказана.
Proof
Для заданного отображения F(x,y) мы положим Φ(x,y):=(x,F(x,y)). Тогда
(dΦ)(x0,F(x0,y0))=(EOO(dF)(x0,y0))
Тогда det(dΦ)(x0,F(x0,y0))=0 и по теореме об обратной функции Theorem 1, имеется обратное к Φ отображение Ψ, т.е. Ψ(Φ(x,y))=(x,y), или, другими словами Ψ(x,F(x,y))=(x,y). Тогда если F(x,y)=0, то вектор f(x) это вектор Ψ(x,0m) без первых n координат.
Тогда в новых терминах теорема об обратном отображении утверждает, что
если в точке a∈U дифференциал (dF)a отображения F∈Cp(U,V) обратим, то существуют такое открытое множество U′⊆U, содержащее точку a, что F:U′→V′⊆V — диффеоморфизм на некоторое открытое множество V′⊆V, содержащее точку F(a).
