Компактные пространства

(1) Пусть $(K,d|_K)$ — компактное подпространство в $(E,d)$, и пусть $\{ \mathscr{U}_\alpha \}_{\alpha \in A}$ — его покрытие, т. е. $K = \cup_{\alpha \in A} \mathscr{U}_\alpha$, где все $\mathscr{U}_\alpha \subseteq K$ открыты в $K$, но тогда (Предложение Proposition 1) для каждого $\alpha \in A$ существует открытое множество $\widetilde{\mathscr{U}}_\alpha$ в $E$ такое, что $\widetilde{\mathscr{U}_\alpha} = \mathscr{U}_\alpha \cap K$. Тогда $K \subseteq \cup_{\alpha \in A} \widetilde{\mathscr{U}}_\alpha$. Так как $K$ — компакт, то можно найти конечное число множеств, скажем, $\mathscr{U}_1, \ldots, \mathscr{U}_n$, таких, что $K = \cup_{i=1}^n\mathscr{U}_i$, но тогда $K \subseteq \cup_{i=1}^n \widetilde{\mathscr{U}}_i$.

(2) Пусть для любого покрытия $\{\widetilde{\mathscr{U}}_\alpha\}_{\alpha \in A}$ множества $K$ открытыми множествами из $E$ можно всегда найти конечное подпокрытие, скажем, $K \subseteq \cup_{i=1}^n \widetilde{\mathscr{U}}_i$, но тогда

при этом (см. Предложение Proposition 1) каждое $\mathscr{U}_\alpha : = \widetilde{\mathscr{U}}_\alpha \cap K$ — открыто в $K$.

Пусть $(E,d)$ — метрическое пространство, и пусть $x_1,x_2 \in E$ — две его различные точки. Нужно показать, что найдутся два открытых множества $\mathscr{U}_1, \mathscr{U}_2 \subset E$ такие, что $x_1\in \mathscr{U}_1$, $x_2\in \mathscr{U}_2$ и $\mathscr{U}_1\cap \mathscr{U}_2 = \varnothing.$

Пусть $y \in B(x_1,r_1) \cap B(x_2,r_2)$, тогда $d(x_1,y)<r_1$ и $d(x_2,y)<r_2$. По неравенству треугольника, получаем

Это означает, что $B(x_1,r_1) \cap B(x_2,r_2) \ne \varnothing$, если и только если $r_1+r_2 > d(x_1,x_2)$, а если $r_1+r_2 \le d(x_1,x_2)$, то $B(x_1,r_1) \cap B(x_2,r_2) = \varnothing$. Таким образом, для данных двух различных точек $x_1,x_2$ полагаем $\mathscr{U}_1: = B(x_1,r_1)$, $\mathscr{U}_2:=B(x_2,r_2)$ и требуем, чтобы $r_1+r_2 \le d(x_1,x_2)$. Это доказывает хаусдорфовость метрических пространств.

Пусть $y \in \overline{\{x\}}$ тогда для любого $r>0$, $B(y,r) \cap \{x\} \ne \varnothing$, т. е. для любого $r >0$ $x \in B(y,r)$, учитывая выполнения аксиомы отделимости в метрических пространствах получаем, что такое возможно, только если $x =y$, что и доказывает требуемое.

Пусть $(E,d)$ — метрическое пространство, $K$ — компакт в $E$.

(1) Согласно Аксиоме Выбора, мы можем взять точку $x\in K$. Рассмотрим бесконечную последовательность шаров $(B(x,n))_{n=1}^\infty$ в $K$, очевидно, что это — покрытие для $K$, и более того $E = \cup_{n \ge 1} B(x,n)$. Так как $K$ — компакт, то из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, скажем, $\{B(x,r)\}_{r=t}^N$, такое, что $K \subseteq \cup_{t=1}^N B(x,r)$. Так как $B(x,p) \subseteq B(x,q)$ при $p<q$, то $\cup_{t=1}^N B(x,r) = B(x,N)$, что и показывает ограниченность $K.$

(2) Пусть $y \in \overline{K}$, но $y \notin K$. Тогда по Лемме Lemma 2, для каждого $x\in K$ можно найти два таких шара $B(x, r_x)$, $B(y, \varepsilon_x)$, что $B(x, r_x) \cap B(y, \varepsilon_x) = \varnothing.$ Ясно, что $K \subseteq \cup_{x \in K} B(x,r_x)$. Так как $K$ компакт, то можно найти конечное множество точек $\{x_1,\ldots, x_n\}$ такое, что $K \subseteq \cup_{i=1}^n B(x_i, r_i)$, где $r_i = r_{x_i}$, $1\le i \le n.$ Для всех таких $x_i$, мы уже имеем шары $B(y, \varepsilon_i)$, $B(y,\varepsilon_i) \cap B(x_i, r_i) = \varnothing$, где $\varepsilon_i := \varepsilon_{x_i}$. Но, тогда полагая $\varepsilon: = \min \{\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n\}$, получаем, что

т. е. мы нашли окрестность $B(y, \varepsilon)$ точки $y$, которая не пересекается с $K$. Но это означает см. Определение Definition 3.1.7, Лемма Lemma 3.1.8, что $y \notin \overline{K}$. Поэтому если $y\in \overline{K}$, то $y \in K$, т. е. $\overline{K} = K.$

(3) Пусть $F \subseteq K$ — замкнутое подмножество в $K$, и пусть $\{\mathscr{U}_\alpha\}_{\alpha \in A}$ — покрытие $F$ открытыми множествами из $E$, т. е. $F \subseteq \cup_{\alpha \in A} \mathscr{U}_\alpha$.

Тогда имеем

т. е. мы получили покрытие для $K$, но так как $K$ — компакт, то можно найти такие, скажем, $\mathscr{U}_1, \ldots, \mathscr{U}_n$, что

но тогда

что означает компактность $F.$

Пусть $\{\mathscr{U}'_\alpha\}_{\alpha \in A}$ — покрытие $f(E)$ открытыми в $E'$ множествами, тогда $\{f^{-1}(\mathscr{U}'_\alpha)\}_{\alpha \in A}$ — покрытие $E$, и так как $f$ — непрерывно, то по Теореме Theorem 4.1.1, это покрытие открытыми множествами в $E.$ Так как $X$ — компактно, то можно найти конечное подпокрытие, скажем, $\{f^{-1}(\mathscr{U}'_i)\}_{i=1}^n$, но тогда $\{\mathscr{U}_i\}_{i=1}^n$ — покрытие для $f(X)$, что и показывает компактность $f(X).$

Доказывать будем от противного. Допустим, что существует такое покрытие $\{\mathscr{U}_\alpha\}_{\alpha \in A}$ открытыми множествами из $\mathbb{R}^n$ для параллелепипеда $\mathcal{P}$, что из него нельзя выбрать конечное подпокрытие.

Итак, пусть $\mathcal{P} \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} \mathscr{U}_\alpha$ и из этого покрытия нельзя выбрать конечное подпокрытие которое бы покрыло $\mathcal{P}$. Разобьём каждый отрезок $[a_k, b_k]$ пополам т.е., представим его так

тогда $\mathcal{P}$ разобьётся на $2^n$ параллелепипедов. По условию, $\mathcal{P}$ нельзя покрыть конечным числом множеств из $\{ \mathscr{U}_\alpha\}_{\alpha \in A}$, тогда найдётся хотя бы один из полученных параллелепипедов, обозначим его через $\mathcal{P}_1$, который тоже нельзя покрыть конечным числом множеств из покрытия $\{ \mathscr{U}_\alpha\}_{\alpha \in A}$.

Разобьём теперь параллелепипед $\mathcal{P}_1$ аналогичным образом на $2^n$ параллелепипедов. Так как $\mathcal{P}_1$ нельзя покрыть конечным числом множеств из покрытия $\{ \mathscr{U}_\alpha\}_{\alpha \in A}$, то найдётся хотя бы один, скажем $\mathcal{P}_2$, из только что полученных, который тоже нельзя покрыть конечным числом множеств. Будем повторять эту процедуру каждый раз. В результате мы получаем бесконечную цепь вложенных друг в друга параллелепипедов

каждый из которых нельзя покрыть конечным числом элементов множества $\{\mathscr{U}_\alpha\}_{\alpha \in A}$, и где каждый из них описывается следующим образом

при этом, по построению, получаем $n$ систем вложенных друг в друга отрезков

у которых длины строго уменьшаются (каждый из отрезков по длине в два раза меньше чем его соседний слева отрезок). Тогда по Лемме о вложенных отрезках (Лемма Lemma 1.5.1), для каждой из этих $n$ систем есть своя общая точка, $c_i \in \bigcap_{k \ge 1} [ a_k^{(i)}, b_k^{(i)} ]$, которая есть предельная для последовательности их концов;

тогда для любого $\varepsilon >0$ и для каждого $1\le p \le n$, найдётся такой номер $M_p$, что при $m \ge M_p$ все $a_m^{(p)}, b_m^{(p)} \in (c_p - \varepsilon, c_p + \varepsilon)$. Пусть $M: = \max_{1 \le p \le n}\{M_p\}$, тогда при $m > M$ все $a_m^{(p)}, b_m^{(p)} \in (c_p - \varepsilon, c_p + \varepsilon)$ при любом $1\le p \le n.$

Рассмотрим теперь параллелепипед

где $\m{c}: = (c_1,\ldots, c_n)$. Тогда, для всех $m>M$, получаем что все параллелепипеды $\mathcal{P}_m \subset \mathcal{P}_\varepsilon(\m{c})$.

С другой стороны,

тогда найдётся хотя бы одно $\mathscr{U}_\alpha$ содержащее это точку $\m{c}$, так как $\mathscr{U}_\alpha$ открыто, то найдётся шар $B(c, r)$ такой, что $B(\m{c}, r) \subseteq \mathscr{U}_\alpha$.

Пусть теперь $0 < \varepsilon < \dfrac{r}{\sqrt{n}}$, тогда получаем, что для каждого $m>M$

Но это означает что, каждый из $\mathcal{P}_m$ при $m >M$ можно покрыть всего одним элементом $\mathscr{U}_\alpha$, что противоречит выбору таких параллелепипедов, т.е., первоначальный параллелепипед можно тогда покрыть конечным числом элементов множества $\{\mathscr{U}_\alpha\}$, что означает его компактность.

(1) Согласно Теореме Theorem 1 (1) мы получаем необходимость.

(2) Если $K \subseteq \mathbb{R}^n$ ограниченно и замкнуто, то это значит, что оно содержится в некотором шаре, скажем, $B(\m{x}, r)$ который содержится целиком внутри параллелепипеда

где $\m{x} = (x_1, \ldots, x_n)$. Так как $K$ — замкнуто, то из предложения Proposition 1 и Теоремы Theorem 1 (3) вытекает утверждение.

Очевидно, что сфера $S^n$ ограничена, так как $S^n \subseteq B(\m{0}_n, r')$, где $r'>r$. Покажем замкнутость. Отображение

для фиксированного $r>0$ очевидно непрерывно, тогда $S^n= f^{-1}(\{0\})$, но точка, согласно Следствию Corollary 1, 0 — замкнутое множество в $\mathbb{R}$ в евклидовой метрики. Таким образом $S^n$ — органично и замкнуто, а значит — компакт.

Согласно Теореме Theorem 2 $f(K)$ — компактно в $\mathbb{R}$, тогда согласно Теореме Theorem 3 оно ограничено. Тогда согласно принципу полноты Вейерштрасса (Теорема Theorem 1.4.1) существуют $m:=\inf f(X)$, $M:= \sup f(X).$ Но, по теореме Theorem 3 $f(X)$ также и замкнуто, тогда по Лемме Lemma 3.1.8, $m,M \in f(X)$, откуда и следует существование таких точек $a,b\in X$, что $f(a) \le f(x) \le f(b)$ при всех $x\in X.$