Фундаментальные теоремы математического анализа

(1) Покажем, что функция $F(x)$ непрерывна на $[a,b].$

Пусть $a\le x<y \le b$, тогда согласно теореме Theorem 1 8), получаем

т.е.,

Так как $f$ — интегрируема по Риману на $[a,b]$, то согласно замечанию Remark 1, $f$ — ограничена на $[a,b]$, т.е., найдётся такое число $M$, что $-M \le f(x) \le M$ для всех $x \in [a,b].$ Тогда, согласно теореме Theorem 1 5., 6., получаем

и

т.е.,

Если $x>y$ то аналогичные рассуждения приведут к неравенству

Если $x = y$, то $F(x) = F(y)$, таким образом, мы получаем, что

Пусть теперь $(x_n)$ — произвольная последовательность в $[a,b]$, тогда по теореме Больцано—Вейрештрасса Theorem 2, она имеет предел, скажем $x: = \lim_{n\to \infty }x_n$. Имеем

для каждого $n \ge 1.$ Согласно Теореме Theorem 1 и предложению Proposition 1, $\lim_{n\to \infty} (-M|x_n - x|) = \lim_{n\to \infty} (M|x_n - x|) = 0$, и тогда по лемме о зажатой последовательности Lemma 1, получаем, что

для любой последовательности $x_n$ в $[a,b]$, но тогда по теореме получаем, что $F(x)$ — непрерванная функция на $[a,b].$

(2) Пусть теперь $f$ — непрерывна в какой-то точке $x_0 \in [a,b]$, покажем тогда, что $F$ дифференцируема в точке $x_0$ и $F'(x_0) = f(x_0)$.

Согласно определению дифференцируемости (см. определение ), это значит, что нам нужно показать, что

или

т.е., для любого $\varepsilon >0$ можно всегда найти такое $\delta>0$, что при $|h|<\delta$,

Пусть $x_0 + h = y \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta] \cap [a,b] =: I$, тогда нам нужно показать, что при любом $y \in I$ имеет место неравенство

Так как функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, то для любого $\varepsilon >0$ мы можем найти такое $\delta>0$, что существует такое $\delta >0$, что

для любого $x \in I$, т.е.,

Итак, пусть $y \in I : = [x_0 - \delta, x_0 + \delta] \cap [a,b]$, тогда возникают три случая.

Если $y = x_0$, то $F(y) - F(x_0) - f(x_0)(y-x_0) = 0$ и неравенство

очевидно выполняется, ибо мы получаем $0 \le 0.$

Пусть $y>x_0$ тогда

Так как $x_0,y \in I$, $[x_0,y] \subseteq I$, то мы также имеем

Тогда по теореме Theorem 1,

т.е.,

Но тогда мы и получаем, что

что и завершает доказательство.

Если мы покажем, что

для любого разбиения $\lambda = \lambda(I)$ промежутка $I$, то согласно Следствию , мы тогда получим, что

а так как $f$ интегрируема по Риману, то крайние числа равны и более того

откуда и будет следует, что

Итак, покажем, что

для произвольного разбиения λ промежутка $I$, так как $F$ — дифференцируема, то по Теореме [](#diff=contionous(for one varibale)), $F$ — непрерывна на $I$, а тогда по следствию ,

По определению ,

Таким образом, нам осталось показать, что

для всех $A \in \lambda \setminus \varnothing.$

Если $A$ состоит из точки, то это очевидно, так как обе части неравенства равны нулю. Пусть теперь $A$ имеет один из четырёх видов $(c,d), [c,d], (c,d], [c,d)$, тогда $F(A) = F(d) - F(c)$. По теореме Лагранжа Theorem 6, существует такая точка $\xi \in (c,d)$, что $F(d) - F(c) = F'(\xi)(d-c)$.

А так как $F'(x) = f(x)$ по условию на всём $I$, то мы получаем

что и требовалось доказать.

Неравенство $F(b) - F(a) \le L(f,\lambda)$ доказывается аналогично.