Числовые ряды - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Пусть $\mathbb{R}$ — числовая прямая, снабжённая обычной нормой $\|x \|:= |x|$ , $x\in \mathbb{R}.$

Пара последовательностей $(x_n)_{n \ge 1}$ , $(s_n)_{n \ge 1}$ называется рядом, если их элементы $x_n$ , $s_n$ при любом $n$ связаны соотношениями

s_n = x_1 + \cdots + x_n,

(1)

или, что равносильно

x_1=s_1, \qquad x_n = s_n-s_{n-1}, \qquad n\ge 1.

(2)

где мы, для удобств, положили, что $s_0:=0$ .

Элемент $x_n$ называется $n$ -ым элементом, $s_n$ — $n$ -й частичной суммой ряда.

Рассматриваемый ряд часто нзывается рядом с общим элементом $x_n$ или просто рядом $(x_n)$ . Принято также писать, что дан ряд $\sum_{n=1}^\infty x_n$ , что следует признать неудачным.^[1]

Example 1 (Приведём некоторые примеры)

Ряд
$\left(\frac{1}{n} \right)_{n\ge 1}, \qquad \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \right)_{n\ge 1}$
(3)
называется гармоническим рядом, также пишут $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}.$

(q^n)_{n\ge 1},\qquad (1+q+\cdots +q^n)_{n\ge 1}.

(4)

(n)_{n \ge 1}, \qquad \left(1+2+\cdots + n \right)_{n \ge 1}.

(5)

Ряд
$\left(\frac{(-1)^k}{2k+1}\right)_{k \ge 0}, \qquad \left(1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1}\right)_{k\ge 0}$
(6)
называется рядом Мадхавы — Лейбинца (Madhava–-Leibniz series).

Example 2

Вернёмся к предыдущим примерам.

Рассмотрим ряд $(q^n)$ , нетрудно видеть, что последовательность его частичных сумм описывается как
$s_n = \begin{cases} \frac{1-q^n}{1-q}, & q \ne 1,\\ n, & q =1. \end{cases}$
(7)
Тогда, если $q \ne 1$ , имеем
$\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{1}{1-q} \left( 1- \lim_{n \to \infty} q^n \right)$
(8)
т.е. предел существует, если и только если $q<1$ . Таким образом, ряд $(q^n)$ сходится, если и только если $q<1.$
Рассмотрим ряд Мадхавы—Лейбница, мы позже докажем, что оказывается, он сходящийся, и более того, мы покажем, что имеет место красивая формула
$\frac{\pi}{4} = \lim_{k \to \infty} s_k = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{11}-\ldots.$
(9)

Proof

Имеем $s = x_1+x_2+\cdots + x_n +\cdots$ , $s_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ , тогда $r_n = s-s_n = x_{n+1}+ x_{n+2} + \cdots + x_{n+k} + \cdots$ . Так как по условию $\lim_{n \to \infty} s_n = s$ , то по арифметике предела (Теорема Theorem 1),

\begin{align*} \lim_{n \to \infty} r_n &= \lim_{n \to \infty}(s- s_n) \\ &= \lim_{n \to \infty} s - \lim_{n \to \infty} s_n \\ &= s- s = 0. \end{align*}

(10)

Proof

Для ряда $(x_n)$ рассмотрим последовательность $(s_n)$ его частичных сумм, тогда согласно определению, $(x_n)$ сходится, если и только если $\lim_{n \to \infty} s_n = s$ , а тогда по критерию Коши $(s_n)$ — фундаментальная (Определение Definition 1), т.е. мы получаем следующее: $(s_n)$ — сходится, если и только если для любого $\varepsilon >0$ существует такой номер $N$ , что при всех $n,m \ge N$ , $|s_m- s_n| < \varepsilon$ .

Без ограничения общности мы можем положить, что $m>n$ , т.е. $m= n+p$ , где $p \ge 1$ , в результате получаем следующее: последовательность $(s_n)$ сходится, если и только если для любого $\varepsilon >0$ существует такой номер $N$ , что для любого $n \ge N$ , $p \ge 1$ имеет место

|s_{n+p} - s_n| = |x_{n+1} + \cdots+ x_{n+p}| < \varepsilon,

(12)

что и требовалось доказать.

Proof

Достаточно воспользоваться критерием Коши Theorem 1 в случае когда $p=1$ , мы тогда получим что для любого $\varepsilon >0$ существует такой номер $N$ , что при всех $m \ge N$ , имеет место неравенство $|s_{m+1} - s_m| < \varepsilon$ , но это означает (см. Определение Definition 2), что $\lim_{m \to \infty} (s_{m+1} - s_m)=0$ . С другой стороны,

\begin{align*} s_{m+1} -s_m &=& x_1 + \cdots x_m + x_{m+1} \\ && - x_1 - \cdots - x_m \\ &=& x_{m+1}, \end{align*}

(14)

поэтому из сходимости ряда $(x_n)$ следует, что $\lim_{m\to \infty }x_{m+1} = 0$ , теперь полагая $m = n-1$ и принимая во внимание соглашение $s_0 :=0$ , мы завершаем доказательство.

Proof

(1) Последовательность частичных сумм ряда $(x_n + x_n')$ имеет вид

(x_1 + \cdots + x_n + x_1' + \cdots +x_n')

(15)

т.е. $(s_n + s_n')$ , но тогда по арифметике предела для последовательностей (Теорема Theorem 1) получаем $\lim_{n \to \infty} (s_n + s_n') = s+ s'$ , что доказывает первое утверждение.

(2) Последовательность частичных сумм для ряда $(\lambda x_n)$ имеет вид $(\lambda x_1 + \cdots + \lambda x_n)$ , т.е. $(\lambda s_n)$ , опять воспользовавшись арифметикой предела для последовательностей (Теорема Theorem 1), мы завершаем доказательство.

Напомним (см. Paragraph), что фраза почти для всех означает, что для всех за исключением конечного числа.

Proof

Рассмотрим ряд $(x_n''): = (x_n - x_n')$ , тогда почти все его элементы равны нулю, а это значит, что он сходится, т. е. мы имеем $\lim_{n \to \infty} s''_n = s''$ .

(1) Пусть ряд $(x_n')$ сходится, и пусть $\lim_{n \to \infty}s_n' =s'$ , тогда согласно Предложению Proposition 1, ряд $(x_n'' + x_n')$ ряд тоже сходится к сумме $s''+s'$ , но $x_n''+x_n' = x_n$ , т. е. ряд $(x_n)$ сходится.

(2) Пусть теперь ряд $(x_n')$ расходится, а ряд $(x_n)$ сходится. Опять рассмотрим ряд $(x_n''): = (x_n - x_n')$ , у которого почти все элементы нулевые, а значит, он сходится, и мы опять положим $\lim_{n \to \infty}s_n'' = s''.$ Рассмотрим ряд $(x_n - x_n'')$ , по предложению Proposition 1, получаем, что этот ряд сходится, но $x_n - x_n'' = x_n'$ , и мы тем самым пришли к тому, что ряд $(x_n')$ сходится, что противоречит предположению, следовательно, ряд $(x_n)$ не может быть сходящимся, т.е. из расходимости ряда $(x_n')$ следует расходимость ряда $(x_n).$

Footnotes¶

Символ $\sum$ указывает на процесс суммирования (то есть это операция), а ряд мы себе мыслим всё же как последовательность. Впрочем, я не одинок в таком представлении, определение взято из книги Ж. Дьёдонне Основы современного анализа.
↩

Анализ в ℝⁿ

Теория условных экстремумов

Начало теории рядов

Положительные ряды