Пусть — числовая прямая, снабжённая обычной нормой ,
Proof
Имеем , , тогда . Так как по условию , то по арифметике предела),
Proof
Для ряда рассмотрим последовательность его частичных сумм, тогда согласно определению, сходится, если и только если , а тогда по критерию Коши — фундаментальная, т.е. мы получаем следующее: — сходится, если и только если для любого существует такой номер , что при всех , .
Без ограничения общности мы можем положить, что , т.е. , где , в результате получаем следующее: последовательность сходится, если и только если для любого существует такой номер , что для любого , имеет место
что и требовалось доказать.
Proof
Достаточно воспользоваться критерием Коши в случае, когда , мы тогда получим что для любого существует такой номер , что при всех , имеет место неравенство , но это означает (см. определение предела последовательности), что . С другой стороны,
поэтому из сходимости ряда следует, что , теперь полагая и принимая во внимание соглашение , мы завершаем доказательство.
Proof
(1) Последовательность частичных сумм ряда имеет вид
т.е. , но тогда по арифметике предела для последовательностей (Теорема) получаем , что доказывает первое утверждение.
(2) Последовательность частичных сумм для ряда имеет вид , т.е. , опять воспользовавшись арифметикой предела для последовательностей, мы завершаем доказательство.
Напомним, что фраза почти для всех означает, что для всех за исключением конечного числа.
Proof
Рассмотрим ряд , тогда почти все его элементы равны нулю, а это значит, что он сходится, т. е. мы имеем .
(1) Пусть ряд сходится, и пусть , тогда согласно предложению, ряд тоже сходится к сумме , но , т. е. ряд сходится.
(2) Пусть теперь ряд расходится, а ряд сходится. Опять рассмотрим ряд , у которого почти все элементы нулевые, а значит, он сходится, и мы опять положим Рассмотрим ряд , по предложению, получаем, что этот ряд сходится, но , и мы тем самым пришли к тому, что ряд сходится, что противоречит предположению, следовательно, ряд не может быть сходящимся, т.е. из расходимости ряда следует расходимость ряда
Символ указывает на процесс суммирования (то есть это операция), а ряд мы себе мыслим всё же как последовательность. Впрочем, я не одинок в таком представлении, определение взято из книги Ж. Дьёдонне Основы современного анализа.