Skip to article frontmatterSkip to article content

2.1 Числовые ряды

Higher School of Economics

Пусть R\mathbb{R} — числовая прямая, снабжённая обычной нормой x:=x\|x \|:= |x|, xR.x\in \mathbb{R}.

Proof

Имеем s=x1+x2++xn+s = x_1+x_2+\cdots + x_n +\cdots, sn=x1+x2++xns_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n, тогда rn=ssn=xn+1+xn+2++xn+k+r_n = s-s_n = x_{n+1}+ x_{n+2} + \cdots + x_{n+k} + \cdots. Так как по условию limnsn=s\lim_{n \to \infty} s_n = s, то по арифметике предела),

limnrn=limn(ssn)=limnslimnsn=ss=0.\begin{align*} \lim_{n \to \infty} r_n &= \lim_{n \to \infty}(s- s_n) \\ &= \lim_{n \to \infty} s - \lim_{n \to \infty} s_n \\ &=& s- s = 0. \end{align*}
Proof

Для ряда (xn)(x_n) рассмотрим последовательность (sn)(s_n) его частичных сумм, тогда согласно определению, (xn)(x_n) сходится, если и только если limnsn=s\lim_{n \to \infty} s_n = s, а тогда по критерию Коши (sn)(s_n)фундаментальная, т.е. мы получаем следующее: (sn)(s_n) — сходится, если и только если для любого ε>0\varepsilon >0 существует такой номер NN, что при всех n,mNn,m \ge N, smsn<ε|s_m- s_n| < \varepsilon.

Без ограничения общности мы можем положить, что m>nm>n, т.е. m=n+pm= n+p, где p1p \ge 1, в результате получаем следующее: последовательность (sn)(s_n) сходится, если и только если для любого ε>0\varepsilon >0 существует такой номер NN, что для любого nNn \ge N, p1p \ge 1 имеет место

sn+psn=xn+1++xn+p<ε, |s_{n+p} - s_n| = |x_{n+1} + \cdots+ x_{n+p}| < \varepsilon,

что и требовалось доказать.

Proof

Достаточно воспользоваться критерием Коши в случае, когда p=1p=1, мы тогда получим что для любого ε>0\varepsilon >0 существует такой номер NN, что при всех mNm \ge N, имеет место неравенство sm+1sm<ε|s_{m+1} - s_m| < \varepsilon, но это означает (см. определение предела последовательности), что limm(sm+1sm)=0\lim_{m \to \infty} (s_{m+1} - s_m)=0. С другой стороны,

sm+1sm=x1+xm+xm+1x1xm=xm+1,\begin{align*} s_{m+1} -s_m &=& x_1 + \cdots x_m + x_{m+1} \\ && - x_1 - \cdots - x_m \\ &=& x_{m+1}, \end{align*}

поэтому из сходимости ряда (xn)(x_n) следует, что limmxm+1=0\lim_{m\to \infty }x_{m+1} = 0, теперь полагая m=n1m = n-1 и принимая во внимание соглашение s0:=0s_0 :=0, мы завершаем доказательство.

Proof

(1) Последовательность частичных сумм ряда (xn+xn)(x_n + x_n') имеет вид

(x1++xn+x1++xn) (x_1 + \cdots + x_n + x_1' + \cdots +x_n')

т.е. (sn+sn)(s_n + s_n'), но тогда по арифметике предела для последовательностей (Теорема) получаем limn(sn+sn)=s+s\lim_{n \to \infty} (s_n + s_n') = s+ s', что доказывает первое утверждение.

(2) Последовательность частичных сумм для ряда (λxn)(\lambda x_n) имеет вид (λx1++λxn)(\lambda x_1 + \cdots + \lambda x_n), т.е. (λsn)(\lambda s_n), опять воспользовавшись арифметикой предела для последовательностей, мы завершаем доказательство.

Напомним, что фраза почти для всех означает, что для всех за исключением конечного числа.

Proof

Рассмотрим ряд (xn):=(xnxn)(x_n''): = (x_n - x_n'), тогда почти все его элементы равны нулю, а это значит, что он сходится, т. е. мы имеем limnsn=s \lim_{n \to \infty} s''_n = s''.

(1) Пусть ряд (xn)(x_n') сходится, и пусть limnsn=s\lim_{n \to \infty}s_n' =s', тогда согласно предложению, ряд (xn+xn)(x_n'' + x_n') тоже сходится к сумме s+ss''+s', но xn+xn=xnx_n''+x_n' = x_n, т. е. ряд (xn)(x_n) сходится.

(2) Пусть теперь ряд (xn)(x_n') расходится, а ряд (xn)(x_n) сходится. Опять рассмотрим ряд (xn):=(xnxn)(x_n''): = (x_n - x_n'), у которого почти все элементы нулевые, а значит, он сходится, и мы опять положим limnsn=s.\lim_{n \to \infty}s_n'' = s''. Рассмотрим ряд (xnxn)(x_n - x_n''), по предложению, получаем, что этот ряд сходится, но xnxn=xnx_n - x_n'' = x_n', и мы тем самым пришли к тому, что ряд (xn)(x_n') сходится, что противоречит предположению, следовательно, ряд (xn)(x_n) не может быть сходящимся, т.е. из расходимости ряда (xn)(x_n') следует расходимость ряда (xn).(x_n).

Footnotes
  1. Символ \sum указывает на процесс суммирования (то есть это операция), а ряд мы себе мыслим всё же как последовательность. Впрочем, я не одинок в таком представлении, определение взято из книги Ж. Дьёдонне Основы современного анализа.