Перейдём теперь к рядам с положительными элементами. Будем говорить, что ряд положительный, если все .
Специфика таких рядов проявляется сразу же.
Proof
Действительно, в таком случае последовательность его частичных сумм строго возрастает, тогда если последовательность ограничена, то по теореме Вейрштрасса Theorem 2 она имеет предел, т.е. ряд сходится. С другой стороны, пусть ряд сходится, тогда , т.е. для любого найдётся такой номер , что при всех , , но — возрастающая, значит все , т.е. последовательность ограничена.
Из этого критерия вытекают многочисленные следствия.
Proof
Если неравенства не выпонены для каких-то конечных значений , скажем, , то рассмотрим ряды , , определённые следующим образом:
которые почти похожи на ряды и соответственно. Согласно лемме Lemma 2, ряды , имеют тот же характер сходимости, как и ряды , соответственно. Поэтому исследование характера сходимости рядов , сводится к исследованию характера рядов , . Это означает, что мы без ограничения общности можем считать, что неравенства выполняются для всех
(1) Пусть ряд сходится, тогда по Теореме Theorem 1, последовательность его частичных сумм ограничена, скажем, числом α, т.е. для всех С другой стороны, по условию, , тогда в силу положительности рядов
для всех , т.е. последовательность частичных сумм ряда ограничена, тогда по теореме Theorem 1, ряд сходится.
(2) Пусть ряд расходится, тогда по теореме Theorem 1, последовательность неограничена. Так как последовательность возрастает, то неограниченность означает, что для любого числа найдётся такой номер , что все . С другой стороны, как мы уже видели, , таким образом, для всех получаем , т.е. последовательность неограничена, а тогда по теореме Theorem 1, ряд расходится.
Proof
Пусть , тогда, согласно Предложению Proposition 1, если ряд сходится, то сходится и ряд , но -ый элемент ряда есть . Поэтому без ограничения общности, мы можем считать, что Тогда из неравенства следует, что .
Далее, из неравенства получаем , но и в силу положительности всех элементов получаем
тогда , и, продолжая, мы по инудкции получаем, что для всех . Теперь, воспользовавшись признаком сравнения 1 (Следствие Corollary 1), мы завершаем доказательство.
Proof
Согласно определению предела последовательности Definition 2, равенство означает, что для любого найдётся такой номер , что верны неравенства
Таким образом, почти для всех имеем , тогда по признаку сравнения 1 (Следствие Corollary 1), ряды , имеют одинаковый характер сходимости, а согласно Proposition 1, характер сходимости ряда такой же, как у ряда , что и завершает доказательство.
Proof
(1) Имеем для каждого
по условию
тогда
С другой стороны, (см. пример Example 2) ряд сходится при , а тогда по предложению Proposition 1 ряд тоже сходится. Наконец, по признаку 1 (Следствие Corollary 1) ряд сходится.
(2) Если же
то
Ряд , где все , очевидно, расходится, тогда по признаку 1 (Следствие Corollary 1), ряд тоже расходится.
(3) Пусть , тогда по определению Definition 2 для любого существует такой , что для всех имеют место неравенства
Если , то пусть , тогда для всех , , тогда по доказанному признаку (1) ряд сходится.
Если , то возьмём такое, что . Но
при каких-то , поэтому для получаем
а так как и (см. Пример Example 2) ряд расходится, то по теореме Proposition 1 получаем, что ряд расходится.
Тем самым признаки Даламбера полностью доказаны.
Proof
Пользуясь леммой Lemma 2, мы можем считать, что неравенства выполнены для всех
(1) Если , то , а так как , то согласно примеру Example 2 и признаку сравнения (см. Следстве Corollary 1) получаем, что ряд сходится.
(2) Если , то , но ряд расходится, а тогда согласно признаку сравнения (см. Следствие Corollary 1) ряд расходится.
(3) Пусть . Возьмём такой , чтобы . Тогда по определению предела Definition 2 найдётся такой , что при всех мы получаем
тогда почти для всех , а так как (см. Пример Example 2) ряд сходится при , то согласно признаку сравнения (см. Следствие Corollary 1) ряд сходится.
Пусть теперь , то выберем такое , чтобы , тогда получаем, что , начиная с какого-то , т.е. почти для всех , но (см. Пример Example 2) ряд расходится при , то согласно признаку сравнения (см. Следствие Corollary 1) ряд расходится.
Тем самым радикальный признак Коши полностью доказан.
Докажем инвариантность суммы сходящегося положительного ряда при произвольной перестановки его элементов.
Proof
Пусть и пусть , рассмотрим тогда частичичные суммы
так как и — положительный ряд, то
Но, положительный ряд сходится, а тогда по критерию сходимости положительного ряда (см. Теорема Theorem 1), последовательность ограничена, и более того для всех . Таким образом, для всех получаем
т.е. последовательность частичных сумм ряда ограичена, а тогда по критерию сходимости положительног ряда (cм. Теорема Theorem 1), ряд — сходится, т.е., существует предел . Тогда по Лемме Lemma 2,
Рассмотрим теперь ряд , тогда на ряд можно посмотреть как на ряд который получился из ряда в результате какой то перестановки элементов . Тогда, рассуждая аналогичным образом, мы приходим к выводу, что , и по лемме Lemma 2, получаем .
Наконец, из полученных неравенств , вытекает, что . Это завершает доказательство теоремы.
Оригинальное написание: Признак Д’Аламбера.