2.2 Положительные ряды

Действительно, в таком случае последовательность $(s_n)$ его частичных сумм строго возрастает, тогда если последовательность $(s_n)$ ограничена, то по теореме Вейрштрасса она имеет предел, т.е. ряд сходится. С другой стороны, пусть ряд сходится, тогда $\lim_{n\to \infty} s_n =s$, т.е. для любого $\varepsilon >0$ найдётся такой номер $N$, что при всех $n \ge N$, $s-\varepsilon < s_n < s+ \varepsilon$, но $(s_n)$ — возрастающая, значит все $s_i < s + \varepsilon$, т.е. последовательность $(s_n)$ ограничена.

Если неравенства $x_n\le x_n'$ не выпонены для каких-то конечных значений $n$, скажем, $n = n_1,\ldots, n_\ell$, то рассмотрим ряды $(y_n)$, $(y_n')$, определённые следующим образом:

которые почти похожи на ряды $(x_n)$ и $(x_n')$ соответственно. Согласно Lemma 2.1.2, ряды $(y_n)$, $(y_n')$ имеют тот же характер сходимости, как и ряды $(x_n)$, $(x_n')$ соответственно. Поэтому исследование характера сходимости рядов $(x_n)$, $(x_n')$ сводится к исследованию характера рядов $(y_n)$, $(y_n')$. Это означает, что мы без ограничения общности можем считать, что неравенства $x_n \le x_n'$ выполняются для всех $n\ge 1.$

(1) Пусть ряд $(x_n')$ сходится, тогда по Theorem 2.2.1, последовательность его частичных сумм $(s_n')$ ограничена, скажем, числом α, т.е. $s'_n < \alpha$ для всех $n.$ С другой стороны, по условию, $x_n \le x_n'$, тогда в силу положительности рядов

для всех $n$, т.е. последовательность частичных сумм ряда $(x_n)$ ограничена, тогда по Theorem 2.2.1, ряд $(x_n)$ сходится.

(2) Пусть ряд $(x_n)$ расходится, тогда по Theorem 2.2.1, последовательность $(s_n)$ неограничена. Так как последовательность $(s_n)$ возрастает, то неограниченность означает, что для любого числа $M \in \mathbb{N}$ найдётся такой номер $n\in \mathbb{N}$, что все $s_n, s_{n+1}, \ldots > M$. С другой стороны, как мы уже видели, $s_n' \ge s_n$, таким образом, для всех $m \ge n$ получаем $s'_m \ge s_m > M$, т.е. последовательность $(s_n')$ неограничена, а тогда по Theorem 2.2.1, ряд $(x_n')$ расходится.

Пусть $\lambda = \frac{x_N}{y_N}$, тогда, согласно Proposition 2.1.1, если ряд $(y_n)$ сходится, то сходится и ряд $(\lambda y_n)$, но $N$-ый элемент ряда $(\lambda y_n)$ есть $\lambda y_N = \frac{x_N}{y_N}y_N = x_N$. Поэтому без ограничения общности, мы можем считать, что $x_N = y_N.$ Тогда из неравенства $\frac{y_{N+1}}{y_N} \le \frac{x_{N+1}}{x_N}$ следует, что $y_{N+1} \le x_{N+1}$.

Далее, из неравенства $\frac{y_{N+2}}{y_{N+1}} \le \frac{x_{N+2}}{x_{N+1}}$ получаем $x_{N+1}y_{N+2} \le y_{N+1} x_{N+2}$, но $y_{N+1} \le x_{N+1}$ и в силу положительности всех элементов получаем

тогда $y_{N+2} \le x_{N+2}$, и, продолжая, мы по индукции получаем, что $y_n \le x_n$ для всех $n \le N$. Теперь, воспользовавшись признаком сравнения 1 (Corollary 2.2.1), мы завершаем доказательство.

Согласно определению предела последовательности, равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_n'} = q$ означает, что для любого $\varepsilon >0$ найдётся такой номер $N$, что верны неравенства

Таким образом, почти для всех $n\ge 1$ имеем $x_n < (q+\varepsilon)x_n'$, тогда по признаку сравнения 1 (Corollary 2.2.1), ряды $(x_n)$, $((q+\varepsilon)x_n')$ имеют одинаковый характер сходимости, а согласно Proposition 2.1.1, характер сходимости ряда $((q+\varepsilon)x_n')$ такой же, как у ряда $(x_n')$, что и завершает доказательство.

Мы воспользуемся Lemma 2.1.2 в случае необходимости и тогда можем считать, что неравенства выполнены для всех $n \ge 0.$

(1) Имеем для каждого $n \ge 2$

по условию

тогда

С другой стороны, (см. Example 2.1.2) ряд $(q^n)$ сходится при $q<1$, а тогда по предложению Proposition 2.1.1 ряд $(x_1q^n)$ тоже сходится. Наконец, по признаку 1 (Corollary 2.2.1) ряд $(x_n)$ сходится.

(2) Если же

то

Ряд $(y_n)$, где все $y_n = x_1$, очевидно, расходится, тогда по признаку 1 (Corollary 2.2.1), ряд $(x_n)$ тоже расходится.

(3) Пусть $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}= q$, тогда по Definition 1.2.2 для любого $\varepsilon >0$ существует такой $N$, что для всех $n \ge N$ имеют место неравенства

Если $q<1$, то пусть $q+\varepsilon <1$, тогда для всех $n \ge N$, $\frac{x_{n+1}}{x_n} \le 1$, тогда по доказанному признаку (1) ряд $(x_n)$ сходится.

Если $q>1$, то возьмём $\varepsilon >0$ такое, что $q-\varepsilon >1$. Но

при каких-то $n \ge N$, поэтому для $N\le n_0 < n$ получаем

а так как $q - \varepsilon >1$ и (см. Example 2.1.2) ряд $(q-\varepsilon)^{n}$ расходится, то по Proposition 2.1.1 получаем, что ряд $(x_n)$ расходится.

Тем самым признаки Даламбера полностью доказаны.

Пользуясь Lemma 2.1.2, мы можем считать, что неравенства выполнены для всех $n \ge 1.$

(1) Если $\sqrt[n]{x_n}<q$, то $x_n <q^n$, а так как $q<1$, то согласно Example 2.1.2 и признаку сравнения получаем, что ряд $(x_n)$ сходится.

(2) Если $\sqrt[n]{x_n}\ge 1$, то $x_n \ge 1$, но ряд $(n)$ расходится, а тогда согласно признаку сравнения ряд $(x_n)$ расходится.

(3) Пусть $q<1$. Возьмём такой $\varepsilon>0$, чтобы $q<q+\varepsilon <1$. Тогда по определению предела найдётся такой $N$, что при всех $n \ge N$ мы получаем

тогда $x_n < (q+\varepsilon)^n$ почти для всех $n$, а так как (см. Example 2.1.2) ряд $((q+\varepsilon)^n)$ сходится при $q+\varepsilon<1$, то согласно признаку сравнения ряд $(x_n)$ сходится.

Пусть теперь $q>1$, то выберем такое $\varepsilon>0$, чтобы $q-\varepsilon >1$, тогда получаем, что $\sqrt[n]{x_n} > q-\varepsilon >1$, начиная с какого-то $n$, т.е. $x_n > (q-\varepsilon)^n$ почти для всех $n\ge 1$, но (см. Example 2.1.2) ряд $((q-\varepsilon)^n)$ расходится при $q-\varepsilon>1$, то согласно признаку сравнения, ряд $(x_n)$ расходится.

Тем самым радикальный признак Коши полностью доказан.

Пусть $x_1' = x_{n_1}, \ldots, x_k' = x_{n_k}, \ldots,$ и пусть $n: = \max \{n_1,\ldots, n_k\}$, рассмотрим тогда частичные суммы

так как $1\le n_1, \ldots, n_k \le n$ и $(x_n)$ — положительный ряд, то

Но, положительный ряд $(x_n)$ сходится, а тогда по критерию сходимости положительного ряда, последовательность $(\mathsf{S}_n)$ ограничена, и более того $\mathsf{S}_n \le \mathsf{S}$ для всех $n$. Таким образом, для всех $k$ получаем

т.е. последовательность $(\mathsf{S}_k')$ частичных сумм ряда $(x_k')$ ограничена, а тогда по критерию сходимости положительного ряда, ряд $(x_k')$ — сходится, т.е. существует предел $\lim_{k \to \infty} \mathsf{S}_k' = \mathsf{S}'$. Тогда по Лемме Lemma 1.3.2, $\mathsf{S}' \le \mathsf{S}.$

Рассмотрим теперь ряд $(x_k')$, тогда на ряд $(x_n)$ можно посмотреть как на ряд который получился из ряда $(x_k')$ в результате какой то перестановки элементов $x_k'$. Тогда, рассуждая аналогичным образом, мы приходим к выводу, что $\mathsf{S}_m \le \mathsf{S}_k'$, и по Lemma 1.3.2, получаем $\mathsf{S} \le \mathsf{S}'$.

Наконец, из полученных неравенств $\mathsf{S}' \le \mathsf{S}$, $\mathsf{S} \le \mathsf{S}'$ вытекает, что $\mathsf{S} = \mathsf{S}'$. Это завершает доказательство теоремы.