Знакочередующиеся ряды - The Hitchhiker's Guide to the Calculus Galaxy

Если мы хотим вычислить, например, значение $\sin(1)$ с определённой точностью, то мы можем воспользоваться полиномом Тэйлора для функции $\sin(x)$ в точке $x=0$ . Мы получаем следующий ряд:

\left(1, - \frac{1}{2!}, \frac{1}{4!}, - \frac{x^6}{6!}, \ldots, \frac{(-1)^n}{(2n)!}, \ldots, \right)

(1)

и его частичная сумма, скажем, $\mathsf{S}_n$ и есть значение полинома Тэйлора функции $\sin(x)$ при $x =1$ ;

1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}

(2)

Proof

Воспользовавшись леммой Lemma 2, мы можем считать, что $|a_n| \ge |a_{n+1}|$ для всех $n$ . Для удобства положим, что первый элемент ряда — это $a_0$ , т.е. $n \ge 0$ . Рассмотрим частичную сумму $\mathsf{S}_{2n+1}$ , имеем

\begin{align*} \mathsf{S}_{2n+1} &= |a_0| - |a_1| + |a_2| - |a_3| + |a_4| + \cdots + |a_{2n}| - |a_{2n+1}| \\ &= |a_0| - \bigl(|a_1| - |a_2|\bigr) - \bigl(|a_3| - |a_4|\bigr) - \cdots - \bigl(|a_{2n-1}|- |a_{2n}|\bigr) - |a_{2n+1}|, \end{align*}

(3)

так как $|a_n| \ge |a_{n+1}|$ , то каждая скобка положительна, это значит, что $\mathsf{S}_{2n+1} \le |a_0|$ , т.е. последовательность $(\mathsf{S}_{2n+1})$ ограничена сверху.

С другой стороны, мы можем записать

\begin{align*} \mathsf{S}_{2n+1} &= |a_0| - |a_1| + |a_2| - |a_3| + \cdots + |a_{2n-2}| - |a_{2n-1}| + |a_{2n}| - |a_{2n+1}| \\ &= \bigl(|a_0| - |a_1| \bigr) + \bigl(|a_2|-|a_3| \bigr) + \cdots + \bigl( |a_{2n-2}| - |a_{2n-1}|\bigr)+ \bigl(|a_{2n}| - |a_{2n+1}|\bigr) \\ &= \mathsf{S}_{2n-1} + \bigl(|a_{2n}| - |a_{2n+1}|\bigr), \end{align*}

(4)

и так как $|a_{2n}| \ge |a_{2n+1}|$ , то $\mathsf{S}_{2n+1} \ge \mathsf{S}_{2n-1}$ , т.е. она не убывает.

Итак, последовательность $(\mathsf{S}_{2n+1})$ ограничена сверху и не убывает, тогда по теореме Вейерштрасса Theorem 2 у неё есть предел $\lim\limits_{n \to \infty}\mathsf{S}_{2n+1} = \mathsf{S} \le |a_0|.$

Наконец, мы также можем записать

\begin{align*} \mathsf{S}_{2n+1} &= |a_0| - |a_1| + |a_2| - |a_3| + |a_{2n}| - |a_{2n+1}| \\ &= \mathsf{S}_{2n} - |a_{2n+1}|, \end{align*}

(5)

так как $\lim\limits_{n \to \infty}\mathsf{S}_{2n+1} = \mathsf{S}$ и по условию $\lim\limits_{n\to \infty} |a_{2n+1}| = 0$ , то по теореме Theorem 1

\lim_{n\to \infty}\mathsf{S}_{2n} = \lim_{n\to \infty} \left( \mathsf{S}_{2n+1} + |a_{2n+1}| \right) = \mathsf{S} + 0 = \mathsf{S}.

(6)

Итак, мы показали, что $\lim\limits_{n \to \infty}\mathsf{S}_n = \mathsf{S}$ , что и означает сходимость ряда.

Начало теории рядов

Положительные ряды

Начало теории рядов

Абсолютно, условно и безусловно сходящееся ряды