Коллоквиум I

1Обыкновенные вопросы, ответы на которые нужно знать¶

1. Что такое аксиома полноты?
2. Выполняется ли аксиома полноты в $\mathbb{Q}$? А в $\mathbb{R}$?
3. Что такое бесконечная десятичная дробь и зачем это вообще?
4. Что такое последовательность?
5. Что значит выражение последовательность сходится к числу? И как это записывают формулой?
6. Что такое предел последовательности?
7. Что значит, если число $a$ не является пределом последовательности?
8. Что такое бесконечно малая последовательность?
9. Что такое верхняя (нижняя) грань ограниченного множества в $\mathbb{R}$?
10. Пусть $A\subseteq \mathbb{R}$, что такое $\mathrm{sup}(A)$, $\mathrm{inf}(A)$?
11. Что такое принцип полноты Вейерштрасса?
12. Что такое ограниченная последовательность?
13. Что значит что последовательность не убывает (не возрастает)?
14. Что такое фундаментальная последовательность?
15. Что такое последовательность Коши?
16. Множество $\mathbb{R}$ есть множество последовательностей Коши из $\mathbb{Q}$. Объясните.
17. Что значит фраза почти всегда?
18. Что такое подпоследовательность?
19. Что такое частичный предел последовательности?
20. Что такое ряд?
21. Что такое сходящийся ряд?
22. Что значит фраза почти похожие ряды?

2Теоремы и прочие интересные результаты, которые нужно знать¶

1. В $\mathbb{Q}$ не выполняется аксиома полноты. Докажите.
2. В поле $\mathbb{R}$ существует такой $x>0$, что $x^2 = 2$. Такое число обозначается как $\sqrt{2}.$ Докажите.
3. Пусть дана последовательность $(x_n)$, и пусть $\lim_{n\to \infty}x_n = x$, тогда это равносильно тому, что $\lim_{n\to \infty}x_n' = 0$, где $x_n' := x_n - x$, $n\in \mathbb{N}.$ Докажите.
4. Если $\lim_{n\to \infty } x_n = x$, $x>0$, то найдётся такой номер $N_0$, что при всех $n>N_0$, будет иметь место неравенство $x_n > \frac{x}{2}>0.$ Докажите.
5. Если предел последовательности существует, то он единственен. Докажите.
6. Пусть $(a_n), (b_n)$ — две последовательности, причём $\lim_{n\to \infty} a_n =a$ и $\lim_{n\to \infty}b_n =b$. Докажите следующее.

7. Пусть даны такие последовательности $(a_n), (b_n), (c_n)$, что $a_n<b_n<c_n$ для всех $n$, $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = a$, тогда $\lim_{n \to \infty} b_n = a.$ Докажите.

8. Пусть даны такие последовательности $(a_n), (b_n)$, что $a_n<b_n$ для всех $n$, $\lim_{n \to \infty} a_n =a$ и $\lim_{n \to \infty} b_n = b$. Тогда $a\le b$. Докажите.

9. Если $A\subseteq \mathbb{R}$ — непустое и ограниченное сверху (снизу) множество, то $\mathrm{sup}(A)$ (соотв. $\mathrm{inf}(A)$) существует. Докажите.

10. Если у последовательности $(a_n)$ есть предел $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, то она ограничена. Докажите.

11. Если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то существует предел $\lim_{n \to \infty}a_n$, который равен $\mathrm{sup}(a_n)$ (соотв. $\mathrm{inf}(a_n)$). Докажите.

12. Для любой последовательности $(I_n)$ бесконечного числа вложенных друг в друга отрезков на числовой прямой, т.е. $I_{n+1} = [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n] = I_n \subseteq \mathbb{R}$, длины которых стремятся к нулю, $\cap_{n=1}^\infty I_n \ne \varnothing.$ Докажите.

13. Последовательность сходится, если и только если она фундаментальна. Докажите.

14. Пусть дана последовательность $(a_n)$ такая, что $\lim_{n\to \infty}a_n = a$, тогда $\lim_{n\to \infty}a_{n_k} =a$ для любой подпоследовательности $\{a_{n_k}\}$. Докажите.

15. Если $(x_n)$ есть ограниченная последовательность, то в ней есть сходящаяся подпоследовательность. Докажите.

16. Пусть $(a_n)$ — ограниченная последовательность, тогда докажите следующее

17. Ряд $(x_n)_{n\ge 1}$ сходится, если и только если для любого $\varepsilon >0$ существует такой номер $N$, что при $n \ge N$, $p\ge 1$ имеет место неравенство
    $$|\mathsf{S}_{n+p} -\mathsf{S}_n| = |x_{n+1}+ \cdots + x_{n+p}| < \varepsilon.$$
    Докажите.
18. Если ряд $(x_n)$ сходится, то
    $$\lim_{n \to \infty} x_n =0.$$
    Докажите.
19. Если ряды $(x_n)$ и $(x_n')$ сходятся и имеют суммы $s$ и $s'$, соответственно, то ряд $(x_n+x_n')$ сходится к сумме $s+s'$, а ряд $(\lambda x_n)$ для любого $\lambda \in \mathbb{R}$ — к сумме $\lambda s.$ Докажите.
20. Если $(x_n)$ и $(x_n')$ почти похожие ряды, то оба они сходятся или расходятся. Докажите.