Вопросы по 0,5 каждый¶
- Что такое знакочередующийся ряд?
- Что такое абсолютно сходящийся ряд?
- Что такое безусловно сходящийся ряд?
- Пусть — дифференцируемая функция, что значит выражение ?
- Почему градиент это не вектор, а ковектор (=функционал)?
- Что такое линейная дифференциальная форма?
- Что значит, что функция это интеграл для функции на каком-то промежутке?
- Что такое неопределённый интеграл?
- Что такое рациональная функция от одной переменной?
- Что называют правильной и простой дробями в поле
- Что такое разбиение промежутка и что значит, что одно выражение тоньше другого? (тонкота!)
- Что такое ступенчатая функция? Как она выражается через характеристические функции?
- Что такое интеграл от ступенчатой функции на промежутке?
- Что такое верхний и нижний интегралы от ограниченной функции на промежутке?
- Что такое интеграл Римана от ограниченной функции на промежутке?
- Что такое верхняя и нижняя сумма Римана для ограниченной функции на промежутке?
- Что значит выражение ограниченная на промежутке функция интегрируема на нём по Риману? Приведите пример не интегрируемой по Риману функции.
Теоремы и тому подобное за 2,5 балла каждое.¶
Докажите признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Док-во.
Пусть дан ряд . Если сходится ряд , то ряд тоже сходится. Докажите.
Если ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке его элементов абсолютная сходимость полученного нового ряда не нарушается и более того, его сумма остаётся прежней. Докажите.
Если ряд сходится условно, (т.е. ряд расходится), то оба ряда , расходятся, при этом Докажите.
Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа , а также если можно так переставить элементы этого ряда, что сумма полученного таким образом ряда будет равна Докажите. [Это только для сына папы Алика!!!]
Докажите, что
где Док-во.
Пусть , — две функции от , имеющие непрерывные производные , . Тогда имеет место формула
Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей. Докажите.
Для каждого рассмотрим форму
тогда
Интеграл от формы выражается через рациональные функции и функции , . Докажите.
Пусть — промежуток и пусть — ступенчатая функция относительно разбиения , тогда если имеем разбиение , которое тоньше, чем , то
Докажите следующее
Пусть — промежуток и — две ступенчатые функции на нём.
Пусть — ограниченная функция на промежутке , числами ,т.е., для всех . Тогда
Пусть — ступенчатая функция на ограниченном промежутке , тогда она интегрируема по Риману, и более того интеграл Римана от неё это то же самое, что и интеграл от ступенчатой функции. Докажите.
Докажите следующее. Пусть — ограниченный промежуток и пусть — ограниченные функции на нём и при этом они интегрируемы на нём по Риману.