Коллоквиум IV

1Вопросы по 0,5 каждый¶

1. Что такое знакочередующийся ряд?
2. Что такое абсолютно сходящийся ряд?
3. Что такое безусловно сходящийся ряд?
4. Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — дифференцируемая функция, что значит выражение $\mathrm{d}f = f'\cdot \mathrm{d}x$?
5. Почему градиент это не вектор, а ковектор (=функционал)?
6. Что такое линейная дифференциальная форма?
7. Что значит, что функция $F(x)$ это интеграл для функции $f(x)$ на каком-то промежутке?
8. Что такое неопределённый интеграл?
9. Что такое рациональная функция от одной переменной?
10. Что называют правильной и простой дробями в поле $\mathbb{R}(x)?$
11. Что такое разбиение промежутка и что значит, что одно выражение тоньше другого? (тонкота!)
12. Что такое ступенчатая функция? Как она выражается через характеристические функции?
13. Что такое интеграл от ступенчатой функции на промежутке?
14. Что такое верхний и нижний интегралы от ограниченной функции на промежутке?
15. Что такое интеграл Римана от ограниченной функции на промежутке?
16. Что такое верхняя и нижняя сумма Римана для ограниченной функции на промежутке?
17. Что значит выражение ограниченная на промежутке функция интегрируема на нём по Риману? Приведите пример не интегрируемой по Риману функции.

2Теоремы и тому подобное за 2,5 балла каждое.¶

1. Докажите признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Док-во.

2. Пусть дан ряд $(x_n)$. Если сходится ряд $(|x_n|)$, то ряд $(x_n)$ тоже сходится. Докажите.

3. Если ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке его элементов абсолютная сходимость полученного нового ряда не нарушается и более того, его сумма остаётся прежней. Докажите.

4. Если ряд $(x_n)$ сходится условно, (т.е. ряд $(|x_n|)$ расходится), то оба ряда $(x_n^+)$, $(x_n^-)$ расходятся, при этом $\lim_{n\to \infty }x_n^+ = \lim_{n \to \infty}x_n^- = 0.$ Докажите.

5. Пусть ряд $(x_n)$ сходится условно, тогда для любого числа $\alpha \in \mathbb{R}$, а также если $\alpha = \pm \infty$ можно так переставить элементы этого ряда, что сумма полученного таким образом ряда будет равна $\alpha.$ Докажите. [Это только для сына папы Алика!!!]

6. Докажите, что

   $$\int \Bigl(\alpha f(x) + \beta g(x) \Bigr) \mathrm{d}x = \alpha \int f(x) \mathrm{d}x +\beta \int g(x) \mathrm{d}x,$$

   где $\alpha, \beta \in \mathbb{R}.$ Док-во.

7. Пусть $u = u(x)$, $v= v(x)$ — две функции от $x$, имеющие непрерывные производные $u'= u'(x)$, $v' = v'(x)$. Тогда имеет место формула

   $$\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u.$$

   Докажите.

8. Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей. Докажите.

9. Для каждого $n\ge 1$ рассмотрим форму

   $$\omega_n: = \frac{\mathrm{d}x}{(x^2 + \alpha^2)^n},$$

   тогда

   $$\int \omega_{n+1} = \frac{1}{2n\alpha^2}\cdot \frac{x}{(x^2 + \alpha^2)^n} + \frac{2n-1}{2n\alpha^2} \cdot\int \omega_n, \qquad \int \omega_1 = \frac{1}{\alpha} \cdot \arctan\left( \frac{x}{\alpha}\right) + C.$$

   Докажите.

10. Интеграл от формы $\frac{Ax + B}{(x^2 + ax + b)^n}\mathrm{d}x$ выражается через рациональные функции и функции $\ln$, $\arctan$. Докажите.

11. Пусть $I \subsetneq \mathbb{R}$ — промежуток и пусть $f:I \to \mathbb{R}$ — ступенчатая функция относительно разбиения $\lambda(I)$, тогда если имеем разбиение $\lambda'(I)$, которое тоньше, чем $\lambda(I)$, то

    $$\int_{\lambda(I)}f = \int_{\lambda'(I)}f.$$

    Докажите.

12. Докажите следующее

Пусть $I \subsetneq \mathbb{R}$ — промежуток и $f,g:I \to \mathbb{R}$ — две ступенчатые функции на нём.

13. Пусть $f:I \to \mathbb{R}$ — ограниченная функция на промежутке $I \subsetneq \mathbb{R}$, числами $a,b$,т.е., $a \le f(x) \le b$ для всех $x \in I$. Тогда

    $$a\cdot |I| \le \inf \int_I f \le \sup \int_I f \le b \cdot |I|.$$

    Докажите.

14. Пусть $f: I \to \mathbb{R}$ — ступенчатая функция на ограниченном промежутке $I \subsetneq \mathbb{R}$, тогда она интегрируема по Риману, и более того интеграл Римана от неё это то же самое, что и интеграл от ступенчатой функции. Докажите.

15. Докажите следующее. Пусть $I \subsetneq \mathbb{R}$ — ограниченный промежуток и пусть $f,g: I \to \mathbb{R}$ — ограниченные функции на нём и при этом они интегрируемы на нём по Риману.

16. Докажите первую фундаментальную теорему анализа. Док-во.
17. Докажите вторую фундаментальную теорему анализа. Док-во.